费尔哈伯公式

在 1631 年出版的稀有著作《代数学院》(Academiae Algebrae) 中，J. 费尔哈伯发表了关于前 个正整数的幂和的若干公式。关于费尔哈伯著作的详细分析可以在 Knuth (1993) 以及经过少量修订的 Knuth (2001) 中找到。

在费尔哈伯提出的结果中（没有说明这些结果是如何推导出来的），有奇次幂的和

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

其中 。虽然费尔哈伯认为对于所有幂 ，以 为变量且符号交替的类似多项式将继续存在，但雅可比 (Jacobi) (1834; Knuth 1993) 首次发表了严格的证明。

求和公式 有时被称为尼科马科斯定理。

用 直接表示幂为 , ..., 10 的这些和，得到

			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)
			(19)

虽然费尔哈伯没有意识到（也没有发现）伯努利数或调和数，但 k 从 1 到 的 次幂和的一般公式可以用闭合形式给出，如下所示

			(20)
			(21)

其中 是广义调和数， 是克罗内克 delta， 是二项式系数，B_i 是第 个伯努利数。

在他的著作中，费尔哈伯还考虑并（正确地）声称，当 3, 5, ... 时，, , ..., 的 重求和是 的多项式。更多细节由 Knuth (1993, 2001) 给出。

这些幂和中的任何一个都可以称为“费尔哈伯和”。