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尼科马科斯定理

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尼科马科斯注意到，当奇数按长度为 1, 2, 3, ... 的块分组时，即 1; 3+5; 7+9+11; 13+15+17+19; ...，第 n 个立方数 n^3 是 n 个连续奇数的和，例如

1^3=1
(1)
2^3=3+5
(2)
3^3=7+9+11
(3)
4^3=13+15+17+19,
(4)

等等（Merzbach 和 Boyer 1991, 第 160 页）。

这组恒等式源于

sum_(i=1)^n[n(n-1)-1+2i]=n^3.
(5)

当与早期毕达哥拉斯的认识相结合，即前奇数的和是 n^2 （Merzbach 和 Boyer 1991, 第 160 页）时，这导致了 Faulhaber 公式的情况

sum_(k=1)^(n)k^3=(sum_(k=1)^(n)k)^2
(6)
=1/4n^2(n+1)^2
(7)
=(n+1; 2)^2
(8)

这有时被称为尼科马科斯定理。对于 n=1, 2, ...，前几个值是 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, ... (OEIS A000537)，这些是平方三角数（虽然不是 平方三角形数）。

代入 n=10 得到 2025，这个值在另一个千年内不会对应当前的日历年份。

另请参阅

立方数, Faulhaber 公式, 奇数, 奇数定理, 平方三角形数

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参考文献

Benjamin, A. T. 和 Orrison, M. E. "sumk^3=(n+1; 2)^2 的两个快速组合证明。" College Math. J. 33, 406-408, 2002.Benjamin, A. T.; Quinn, J. J.; 和 Wurtz, C. "通过计数矩形求立方和。" College Math. J. 37, 387-389, 2006Kanim, K. "无字证明：立方和——阿基米德平方和的扩展。" Math. Mag. 77, 298-299, 2004.Merzbach, U. C. 和 Boyer, C. B. 数学史，第 3 版。 New York: Wiley, pp. 159-160, 1991.Nicomachus. 第 20 章，算术入门。Smith, D. E. 数学史，第 1 卷：初等数学史概论。 New York: Dover, pp. 128-129, 1958.Stein, R. G. "sumk^3=(sumk)^2 的组合证明。" Math. Mag. 44, 161-162, 1971.Stroeker, R. J. "关于连续立方和为完全平方数。" Compos. Math. 97, 295-307, 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

尼科马科斯定理

请引用为

Weisstein, Eric W. "尼科马科斯定理。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/NicomachussTheorem.html

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