乘法群

一种群，其群运算被定义为乘法。与普通乘法一样，群元素的乘法运算可以用上圆点 表示，或者完全省略，给出符号 或 。在乘法群中，单位元 表示为 1，元素 的逆元写为 ，读作“ 的逆元”。这种符号和术语借用自数字构成的乘法群，其中运算是通常的算术乘积，单位元是数字 1，逆元与倒数一致。

最简单的例子是平凡群 和 ，后者同构于循环加法群 。 的元素是单位根，一般来说，所有复数 次单位根的集合 是阶数为 的循环乘法群，

(1)

其中生成元 是任意本原 次单位根。这些群都是由所有非零复数构成的乘法群 的子群。一般来说，如果 是一个可除代数，那么集合 总是乘法群，当且仅当 当且仅当 是域时，它是交换的。如果 是伽罗瓦域 ，则其乘法群始终是循环的。更一般地，单位环 的可逆元素形成一个乘法群，通常表示为 或 。环 的可逆元素是所有与 互质的元素 的剩余类。以这种方式获得的群 具有 个元素，其中 表示欧拉函数。

所有在域 中取值的非奇异 矩阵的集合 是关于矩阵乘法的乘法群，称为 阶在 上的一般线性群。它具有特殊线性群 作为子群。如果 (或 )，我们还可以考虑正交群 、特殊正交群 、( 酉群 和 特殊酉群 ) 作为 (或 ) 的乘法子群。其他子群由以下集合构成

(2)

其中符号 表示我们仅考虑所有对角元素均为非零的矩阵。

乘法群 关于正规子群 的商群是关于陪集乘积的乘法群，定义为

(3)

一个例子是射影一般线性群

(4)

乘法群的名称也应用于映射群，其中运算是映射复合 。 变换群（例如旋转群）和对称群及其子群（例如交错群）就是这种情况。对于所有正整数 ，映射 的 次幂定义为

(5)

负幂也照常定义，所以

(6)

如果 。