超凯勒流形

超凯勒流形可以定义为维度为 的黎曼流形，具有三个协变常数的正交自同构 、 、 ，作用于切丛，并满足四元数恒等式

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其中 表示切丛上的恒等自同构 的负数。术语超凯勒有时不带连字符（写作hyperKähler）或不带大写字母（写作hyperkähler）。

这个定义等价于文献中常见的其他几个定义；实际上，流形 被称为超凯勒流形当且仅当

1. 是一个全纯辛Kähler流形，其完整群在 中。

2. 是一个全纯辛Kähler流形，它是 Ricci 平坦的（即，其标量曲率为零）。

上述等价性的第一个是指伯杰对黎曼流形的完整群的分类，并暗示平行移动保留了 、 和 。这个标准和上述等价性的第二个标准都用于区分超凯勒流形和名称相似的四元数-Kähler 流形，后者具有非零 Ricci 曲率，并且通常不是 Kähler 流形。

超凯勒流形必然是 Calabi-丘流形，并且是常数为 0 的 爱因斯坦流形。

通常，自同构 被假定为可积的。这三个复结构诱导出三个 Kähler 2-形式 ，，在 上，即

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(3)

和

(4)

对于所有 ，其中，这里， 是 上的Kähler/黎曼度量。正如上面两个等价的定义所表明的那样，超凯勒流形是全纯辛的，即它们具有由 、 和 中的每一个诱导的三个全纯辛 2-形式。例如，形式为

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的 2-形式 在 上是全纯且辛的（其中 表示标准的虚数单位）。Calabi 证明了一个部分逆定理，该定理指出，紧致的全纯辛 Kähler 流形对于其任何 Kähler 形式都承认唯一的超凯勒度量。

所有偶数维复向量空间和环面都是超凯勒流形。更多示例包括四元数 、 维复射影空间的余切丛、K3 曲面、紧致超凯勒 4-流形上点的 Hilbert 概型 和广义 Kummer 簇，以及各种模空间、Nahm 方程解的空间和 Nakajima 箭图簇。