四元数 Kähler 流形

四元数 Kähler 流形是黎曼流形，其维度为 , ，其完整群在共轭意义下是以下群的子群

但不是 的子群。这些流形有时被称为四元数 Kähler 流形，有时也用连字符写成 quaternion-Kähler、quaternionic-Kähler 等。

尽管名称如此，四元数 Kähler 流形不必是 Kähler 流形，因为所有 Kähler 流形的完整群都是 的子群，而 。根据文献，这样的流形有时被假定为连通和/或可定向的。在上述定义中，对于 的情况通常被排除，因为 ，根据 Berger 对完整群的分类，这仅意味着流形是黎曼流形。上述分类可以扩展到 的情况，通过要求流形既是爱因斯坦流形又是自对偶的。

一些作者排除了最后一个标准，从而将流形分类为四元数 Kähler 流形，前提是它们是黎曼流形且完整群是 的子群。在这个限制较少的定义下，超 Kähler 流形——完整群是 的子群的流形——将被视为四元数 Kähler 流形，尽管文献中区分四元数 Kähler 流形和超 Kähler 流形的情况并不少见。为了代替最后一个标准，一些作者转而施加流形具有非零标量曲率的条件，由此再次排除了超 Kähler 流形（因此是 Ricci-平坦的）。

Berger 表明，对于 ，四元数 Kähler 流形必然是爱因斯坦流形。

由于四元数 Kähler 流形的定义排除了具有零标量曲率的可能性，因此自然要分别研究具有正标量曲率和负标量曲率的四元数 Kähler 流形的情况（分别称为正四元数 Kähler 流形和负四元数 Kähler 流形）。LeBrun 的工作表明，这两种情况存在许多显着差异，虽然在理解正四元数 Kähler 流形方面已经取得了许多进展，但对于其负标量曲率对应物，似乎知之甚少。

目前还没有已知的紧致四元数 Kähler 流形的例子，它们既非局部对称也非超 Kähler 流形。此外，LeBrun 等人推测，所有正四元数 Kähler 流形都是对称的，并且在维度 4 和 8 上得到了证实。局部对称的四元数 Kähler 流形被称为 Wolf 空间。