卡拉比-丘空间

卡拉比-丘空间在弦理论中非常重要，其中一个模型假设宇宙的几何结构由一个十维空间组成，形式为 ，其中 是一个四维流形（时空），而 是一个六维紧致卡拉比-丘空间。它们与库默尔曲面有关。尽管卡拉比-丘空间的主要应用是在理论物理学中，但它们从纯粹的数学角度来看也很有趣。因此，它们根据上下文的不同，有略微不同的名称，例如卡拉比-丘流形或卡拉比-丘簇。

尽管可以将定义推广到任何维度，但通常认为它们具有三个复维度。由于它们的复结构可能会发生变化，因此将它们视为具有六个实维度和一个固定的光滑结构是很方便的。

卡拉比-丘空间的特征在于存在一个非零调和旋量 。这个条件意味着它的典范丛是平凡的。

考虑使用坐标的局部情况。在 中，选择坐标 和 使得

(1)

赋予它 的结构。然后

(2)

是典范丛的局部截面。坐标的酉变换 ，其中 是一个酉矩阵，将 变换为 ，即，

(3)

如果线性变换 的行列式为 1，也就是说，它是一个特殊酉变换，那么 被一致地定义为 或 。

在卡拉比-丘流形 上，这样的 可以全局定义，并且李群 在理论中非常重要。事实上，来自黎曼几何的众多等价定义之一是，卡拉比-丘流形是一个 维流形，其完整群约化为 。另一个定义是它是一个校准流形，具有一个校准形式 ，它在代数上与实部相同

(4)

通常，会额外假设 是单连通的和/或紧致的。

无论使用何种定义，卡拉比-丘流形以及它们的模空间都具有有趣的性质。其中之一是形成紧致卡拉比-丘流形的霍奇菱形的数字中的对称性。令人惊讶的是，这些称为镜像对称性的对称性可以通过另一个卡拉比-丘流形来实现，即所谓的原始卡拉比-丘流形的镜像。这两个流形共同构成一个镜像对。镜像对几何结构的一些对称性一直是近期研究的对象。