凯勒形式

在复流形 上的一个闭二形式 ，它也是埃尔米特度量 的负虚部，被称为凯勒形式。在这种情况下， 被称为凯勒流形，而 ，埃尔米特度量的实部，被称为凯勒度量。凯勒形式结合了度量和复结构，实际上

(1)

其中 是由乘以 引起的近复结构。由于凯勒形式来自埃尔米特度量，因此它被 保留，即，因为 。 方程意味着度量和复结构是相关的。它赋予 一个凯勒结构，并有许多推论。

在 上，凯勒形式可以写成

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其中 。一般来说，凯勒形式可以用坐标表示为

(4)

其中 是一个埃尔米特度量，其实部是凯勒度量。局部地，凯勒形式可以写成 ，其中 是一个称为凯勒势的函数。凯勒形式是一个实 -复形式。

由于凯勒形式 是闭的，它表示德·拉姆上同调中的一个上同调类。在紧致流形上，它不能是恰当的，因为 是由度量确定的体积形式。在射影代数簇的特殊情况下，凯勒形式表示一个积分上同调类。也就是说，它在任何一维子流形（即代数曲线）上积分得到一个整数。小平嵌入定理指出，如果凯勒形式在紧致流形上表示一个积分上同调类，那么它必须是一个射影代数簇。存在不是射影代数的凯勒形式，但任何凯勒流形是否可以形变为射影代数簇（在紧致情况下）仍然是一个未解决的问题。

凯勒形式满足 Wirtinger 不等式，

(5)

其中右侧是由切向量 和 形成的平行四边形的体积。相应的 不等式 对 的外幂成立。等式成立当且仅当 和 形成一个复子空间。因此， 是一个校准形式，并且凯勒流形的复子流形是校准的子流形。特别地，复子流形在凯勒流形中是局部体积最小化的。例如，全纯函数的图是 中局部面积最小化的曲面。