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有限群 C_2×C_2

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有限群 C_2×C_2 是阶为 4 的两个不同群之一。这个群的名称来源于它是两个 C_2 子群的群直积。与群 C_4 类似，C_2×C_2 是一个 阿贝尔群。然而，与 C_4 不同，它不是循环群。

对应于 C_2×C_2 的抽象群被称为四元群。C_2×C_2 群的例子包括点群 D_2、C_(2h) 和 C_(2v)，以及模乘法群 M_8 和 M_(12)（以及没有其他模乘法群）。M_8，即由 {1,3,5,7} 给出的与 8 互质的剩余类，是 C_2×C_2 类型的群，这可以通过验证以下条件来证明：

1^2=1 3^2=9=1 5^2=25=1 7^2=49=1 (mod 8)
(1)

并且

3·5=15=7 3·7=21=5 5·7=35=3 (mod 8).
(2)

因此，C_2×C_2 是一个 模乘法群。

FiniteGroupC2C2CycleGraph

循环图如上所示。除了对于每个元素 A_i 满足 A_i^4=1 外，它也满足 A_i^2=1，其中 1 是单位元。

FiniteGroupC2C2Table

它的乘法表如上所示并在下面列出（Cotton 1990, p. 11）。

C_2×C_21ABC
11ABC
AA1CB
BBC1A
CCBA1

由于该群是阿贝尔群，因此共轭类为 {1}, {A}, {B}, 和 {C}。C_2×C_2 的非平凡真子群为 {I,A}, {I,B}, 和 {I,C}。

现在显式地考虑 C_(2v) 点群的元素。

C_(2v)EC_2sigma_vsigma_v
EEC_2sigma_vsigma_v^'
C_2C_2Esigma_v^'sigma_v
sigma_vsigma_vsigma_v^'EC_2
sigma_v^'sigma_v^'sigma_vC_2E

用四元群元素表示

VIV_1V_2V_3
IIV_1V_2V_3
V_1V_1IV_3V_2
V_2V_2V_3IV_1
V_3V_3V_2V_1I

C_2×C_2 的循环指标为

Z(C_2×C_2)=1/2x_1^2+1/2x_2^2.
(3)

使用二维实矩阵的可约表示是

1=[1 0; 0 1]
(4)
A=[-1 0; 0 -1]
(5)
B=[0 1; 1 0]
(6)
C=[0 -1; -1 0].
(7)

可以从 D_2 群（1, C_2(z), C_2(y), 和 C_2(x)）或 C_(2v) 群（1, C_2, sigma_v, 和 sigma_v^'）的对称元素获得另一个使用三维实矩阵的可约表示。将 C_2 轴放置在 z轴上，sigma_v 放置在 x-y 平面上，以及 sigma_v^' 放置在 y-z 平面上。

1=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]
(8)
A=R_x(pi)=sigma_v=[1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]
(9)
C=R_z(pi)=C_2=[-1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]
(10)
B=R_y(pi)=sigma_v^'=[-1 0 0; 0 1 0; 0 0 1].
(11)

为了找到不可约表示，请注意迹由 chi(1)=3,chi(C_2)=-1, 和 chi(sigma_v)=chi(sigma_v^')=1. 给出。因此，至少有三个不同的共轭类。然而，我们从乘法表中看到，实际上有四个共轭类，因此群规则 5 要求必须有四个不可约表示。根据群规则 1，我们正在寻找满足以下条件的正整数

l_1^2+l_2^2+l_3^2+l_4^2=4.
(12)

唯一可行的组合是

l_1=l_2=l_3=l_4=1,
(13)

因此，有四个一维表示。群规则 2 要求平方和等于群阶 h=4，因此每个一维表示必须具有群特征标 +/-1。群规则 6 要求完全对称表示始终存在，因此我们可以从第一个表示都为 1 开始。然后，我们使用正交性（群规则 3）来构建其他表示。然后，最简单的解由下式给出

C_(2v)1C_2sigma_vsigma_v^'
Gamma_11111
Gamma_21-1-11
Gamma_31-11-1
Gamma_411-1-1

通过切换 Gamma_1 和 Gamma_3，这些可以放入更熟悉的形式，从而给出特征标表

C_(2v)1C_2sigma_vsigma_v^'
Gamma_31-11-1
Gamma_21-1-11
Gamma_11111
Gamma_411-1-1

对应于此表示的矩阵现在是

1=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]
(14)
C_2=[-1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]
(15)
sigma_v=[1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 -1]
(16)
sigma_v^'=[-1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 -1],
(17)

它由先前的表示和一个附加分量组成。这些矩阵现在是正交的，并且阶数等于矩阵维度。和以前一样，chi(sigma_v)=chi(sigma_v^')。

另请参阅

循环群, 循环群 C2, 循环群 C4, 二面体群, 有限群, 有限群 C2×C_2×C_2

使用 探索

参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 244-245, 1985.Cotton, F. A. Chemical Applications of Group Theory, 3rd ed. New York: Wiley, 1990.

请引用为

Weisstein, Eric W. "有限群 C_2×C_2." 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FiniteGroupC2xC2.html

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