共轭类

一组完整的相互共轭的群元素。一个群中的每个元素都属于恰好一个类，并且单位元素 () 总是属于其自身的类。共轭类阶的所有类的阶都必须是群阶的整数因子。从最后两个陈述来看，素数阶的群对于每个元素都有一个类。更一般地，在阿贝尔群中，每个元素自身构成一个共轭类。

当一个运算可以通过对称操作在新的坐标系中被另一个运算替换时，这两个运算属于同一类（Cotton 1990, p. 52）。这些集合直接对应于等价运算的集合。

要了解如何计算共轭类，请考虑二面体群 D3，它具有以下乘法表。

	1
1	1
		1
			1
				1
						1
					1

始终在其自身的共轭类中。要找到另一个共轭类，取某个元素，例如 , 并找到所有相似变换 在 上的结果。例如，对于 , 乘以 的乘积可以读取为包含 (第一个乘数) 的行与包含 (第二个乘数) 的列的交点处的元素，得到 。现在，我们要找到 其中 , 因此将两边都左乘 以获得 , 因此 是列 相交于行 中的 1 的元素，即 。因此， 。类似地， , 继续对所有元素进行此过程，得到

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

可能的结果是 , , 或 , 因此 形成一个共轭类。要找到下一个共轭类，取一个不属于现有类的元素，例如 。应用相似变换得到

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

因此 形成一个共轭类。

令 为有限群，其群阶为 , 令 为 的共轭类的数量。如果 是奇数，则

(11)

(Burnside 1955, p. 295)。此外，如果每个素数 整除 满足 , 则

(12)

(Burnside 1955, p. 320)。Poonen (1995) 表明，如果每个素数 整除 满足 对于 , 则

(13)