特征标表

一个 有限群 具有有限数量的 共轭类 和有限数量的不同 不可约表示。 群特征标 在一个 共轭类 上是常数。因此，特征标的值可以写成一个数组，称为特征标表。通常，行由 不可约表示 给出，列由 共轭类 给出。

特征标表通常包含足够的信息来识别给定的抽象群并将其与其他群区分开来。然而，存在非同构群，它们仍然具有相同的特征标表，例如 （正方形的对称群）和 （四元数群）。

例如，在三个字母上的 对称群 有三个 共轭类，由 置换 , , 和 代表。它也有三个 不可约表示；两个是一维的，第三个是二维的

1. 平凡表示 。

2. 交错表示，由 置换 的符号给出，。

3. 在 上的 标准表示，其中

标准表示 可以在 上通过矩阵描述

因此，第一个矩阵的 群特征标 为 0，第二个矩阵的群特征标为 。单位元的 群特征标 始终是 向量空间 的维数。交错表示的迹只是 置换 的 置换符号。因此， 的特征标表如下所示。

化学家和物理学家使用一种特殊的约定来表示特征标表，这种约定尤其适用于所谓的 点群，它们是晶格中可能存在的 32 个有限对称群。在上面的例子中，编号区域包含以下内容（Cotton 1990 pp. 90-92）。

1. 用于表示所讨论群的符号（在本例中为 ）。

2. 共轭类，用数字和符号表示，其中系数之和给出群的 阶。

3. 密立根符号，每个 不可约表示 各一个。

4. 群的 不可约表示 的 群特征标 数组，每列对应一个 共轭类，每行对应一个 不可约表示。

5. 符号 、 、 、 、 和 的组合，前三个符号代表坐标 、 和 ，后三个符号代表绕这些轴的旋转。这些与群的变换性质和基表示有关。

6. 根据坐标的变换性质，坐标的所有平方和二元乘积。

许多 点群 的特征标表使用此符号在下面再现。