主题
Search

阶乘和

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本

阶乘幂和函数定义为

sf^p(n)=sum_(k=1)^nk!^p.
(1)

对于 p=1,

sf^1(n)=sum_(k=1)^(n)k!
(2)
=(-e+Ei(1)+pii+E_(n+2)(-1)Gamma(n+2))/e
(3)
=(-e+Ei(1)+R[E_(n+2)(-1)]Gamma(n+2))/e,
(4)

其中 Ei(z) 是 指数积分， Ei(1) approx 1.89512 (OEIS A091725), E_n 是 En 函数， R[z] 是 实部 z, 并且 i 是 虚数。 前几个值是 1, 3, 9, 33, 153, 873, 5913, 46233, 409113, ... (OEIS A007489)。 sf^1(n) 不能写成超几何项加上常数的形式 (Petkovšek et al. 1996)。 此形式的唯一素数是 sf_1(2)=3, 因为

sf^1(n)=(1!+2!+3!+...+n!)
(5)
=(1+2+3sum_(k=3)^(n)(k!)/3)
(6)
=3(1+sum_(k=3)^(n)(k!)/3)
(7)

对于 n>2，始终是 3 的倍数。

事实上，对于 n>1 且 p=3, 5, 7, ...，sf^p(n) 可被 3 整除 (因为由前两项 1!^n+2!^n=2^n+1 给出的 Cunningham 数 始终可以被 3 整除——随后的项 n>=3 中的所有阶乘幂也是如此)，因此不包含素数，这意味着偶数 p 的序列是唯一的素数竞争者。

总和

sf^2(n)=sum_(k=1)^n(k!)^2
(8)

似乎没有简单的闭合形式，但其对于 n=1, 2, ... 的值是 1, 5, 41, 617, 15017, 533417, 25935017, ... (OEIS A104344)。 对于索引 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 18, 21, 42, 51, 91, 133, 177, 182, 310, 3175, 9566, 32841, ... (OEIS A100289) 它是素数。 由于对于 n>=1248828，sf^2(n) 可被 1248829 整除，因此这样的素数只能有有限个。（然而，最大的此类素数尚不清楚，考虑到 sf^2(1248829) 具有超过 1400 万个十进制数字，这并不奇怪。）

对于 n>=12，sf^4(n) 可被 13 整除，并且 n<12 的唯一素数是 sf^4(2)=17。

sf^6(n) 的情况稍微有趣一些，但对于 n>=1090，sf^6(n) 可被 1091 整除，并且检查低于该值的项，得出唯一的素数项为 n=5, 34 和 102 (OEIS A289947)。

由于对于 n>=12，sf^8(n) 可被 13 整除，因此 sf^8(n) 中唯一的素数是针对 n=2 的情况。

类似地，由于对于 n>=40，sf^(10)(n) 可被 41 整除，因此 sf^(10)(n) 中唯一的素数是针对 n=3, 4, 5, 16 和 25 (OEIS A290014) 的情况。

使得对于 n>=a_k-1，sf^(2k)(n) 可被 a_k 整除的最小（素数）数 a_k 的序列对于 k=1, 2, ... 由 1248829, 13, 1091, 13, 41, 37, 463, 13, 23, 13, 1667, 37, 23, 13, 41, 13, 139, ... (OEIS A290250) 给出。

索引从 0 而不是 1 开始的相关总和有时表示为 L!n（不要与 子阶乘 混淆），并被称为 左阶乘，

L!n=sum_(k=0)^nk!.
(9)

具有交替项的相关总和被称为 交错阶乘，

a(n)=sum_(k=1)^n(-1)^(n-k)k!.
(10)

总和

sum_(k=1)^nkk!=(n+1)!-1
(11)

具有简单的形式，前几个值是 1, 5, 23, 119, 719, 5039, ... (OEIS A033312)。

阶乘和满足的恒等式包括

sum_(k=0)^(infty)1/(k!)=e=2.718281828...
(12)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(k!)=e^(-1)=0.3678794411...
(13)
sum_(k=0)^(infty)1/((k!)^2)=I_0(2)=2.279585302...
(14)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/((k!)^2)=J_0(2)=0.2238907791...
(15)
sum_(k=0)^(infty)1/((2k)!)=cosh1=1.543080634...
(16)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/((2k)!)=cos1=0.5403023058...
(17)
sum_(k=0)^(infty)1/((2k+1)!)=sinh1=1.175201193...
(18)
sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/((2k+1)!)=sin1=0.8414709848...
(19)

(OEIS A001113, A068985, A070910, A091681, A073743, A049470, A073742, 和 A049469; Spanier 和 Oldham 1987)，其中 I_0(x) 是 第一类修正贝塞尔函数， J_0(x) 是 第一类贝塞尔函数， coshx 是 双曲余弦， cosx 是 余弦， sinhx 是 双曲正弦，并且 sinx 是 正弦。

阶乘 幂 和包括

sum_(n=0)^(infty)((n!)^2)/((2n)!)=2/(27)(18+sqrt(3)pi)
(20)
=1.73639985...
(21)
sum_(n=0)^(infty)((n!)^3)/((3n)!)=_3F_2(1,1,1;1/3,2/3;1/(27))
(22)
=1.17840325...
(23)

(OEIS A091682 和 A091683) 并且，一般来说，

sum_(n=0)^infty((n!)^k)/((kn)!)=_kF_(k-1)(1,...,1_()_(k);1/k,2/k,...,(k-1)/k;1/(k^k)).
(24)

Schroeppel 和 Gosper (1972) 给出了积分表示

sum_(n=0)^infty((n!)^3)/((3n)!)=int_0^1[P(t)+Q(t)cos^(-1)R(t)]dt,
(25)

其中

P(t)=(2(8+7t^2-7t^3))/((4-t^2+t^3)^2)
(26)
Q(t)=(4t(1-t)(5+t^2-t^3))/((4-t^2+t^3)^2sqrt((1-t)(4-t^2+t^3)))
(27)
R(t)=1-1/2(t^2-t^3).
(28)

只有四个 整数 等于其数字的阶乘之和。 这样的数字称为 阶乘数字。

虽然没有大于 1! 的阶乘是 平方数，但 D. Hoey 列出了给出 平方数 的不同阶乘的 <10^(12) 和，而 J. McCranie 给出了小于 21!=5.1×10^(19) 的一个额外和

0!+1!+2!=2^2
(29)
1!+2!+3!=3^2
(30)
1!+4!=5^2
(31)
1!+5!=11^2
(32)
4!+5!=12^2
(33)
1!+2!+3!+6!=27^2
(34)
1!+5!+6!=29^2
(35)
1!+7!=71^2
(36)
4!+5!+7!=72^2
(37)
1!+2!+3!+7!+8!=213^2
(38)
1!+4!+5!+6!+7!+8!=215^2
(39)
1!+2!+3!+6!+9!=603^2
(40)
1!+4!+8!+9!=635^2
(41)
1!+2!+3!+6!+7!+8!+10!=1917^2
(42)

和

1!+2!+3!+7!+8!+9!+10!+11!+12!+13!+14!+15!=1183893^2
(43)

(OEIS A014597)。

分子中具有索引幂，分母中具有 阶乘 乘积的和通常可以用 正则化超几何函数 _pF^~_q 进行解析求解，例如

sum_(k=0)^N1/((k+m)!(k+n)!)=_1F^~_2(1;m+1,n+1;1) -_1F^~_2(1;m+N+2;n+N+2;1) sum_(k=0)^N1/((m+k)!(n-k)!)=(_2F^~_1(1,-n;m+1;-1))/(Gamma(n+1)) -(_2F^~_1(1,-n+N+1;m+N+2;-1))/(Gamma(n-N)).
(44)

另请参阅

交错阶乘, 二项式和, 阶乘, 阶乘积, 整数序列素数, 左阶乘, 子阶乘

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Guy, R. K. "阶乘的相等乘积"、"阶乘的交替和" 和 "涉及阶乘 n 的方程。" §B23, B43, 和 D25 在 数论中未解决的问题，第 2 版。 纽约: Springer-Verlag, pp. 80, 100, 和 193-194, 1994.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; 和 Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Schroeppel, R. 和 Gosper, R. W. Beeler, M.; Gosper, R. W.; 和 Schroeppel, R. 中的项目 116 HAKMEM. Cambridge, MA: MIT 人工智能实验室, 备忘录 AIM-239, p. 54, 2 月. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/series.html#item116.Sloane, N. J. A. 序列 A001113/M1727, A007489/M2818, A014597, A033312, A049469, A049470, A068985, A070910, A073742, A073743, A091681, A091682, A091683, A091725, A100289, A104344, 和 A290250 在 "整数序列在线百科全书" 中.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "阶乘函数 n! 及其倒数。" 第 2 章 在 函数图集。 华盛顿特区: Hemisphere, pp. 19-33, 1987.

在 Wolfram|Alpha 上引用

阶乘和

请引用为

Weisstein, Eric W. "阶乘和。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FactorialSums.html

主题分类