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TagBox[E, MathPlain]_n 函数

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ExpIntegralE

The E_n(x) 函数由以下积分定义

E_n(x)=int_1^infty(e^(-xt)dt)/(t^n)
(1)

并由 Wolfram Language 函数给出ExpIntegralE[n, x]. 定义 t=eta^(-1) 使得 dt=-eta^(-2)deta,

E_n(x)=int_0^1e^(-x/eta)eta^(n-2)deta
(2)

对于整数 n>1,

E_n(0)=1/(n-1).
(3)
EnFunctionReIm
EnFunctionContours

上面显示了 在复平面中的图像。

特殊情况 n=1 给出

E_1(x)=-Ei(-x)
(4)
=Gamma(0,x)
(5)
=int_1^infty(e^(-tx)dt)/t
(6)
=int_x^infty(e^(-u)du)/u,
(7)

其中 Ei(x) 是指数积分，Gamma(a,z) 是不完全伽玛函数。 它也等于

E_1(x)=-gamma-lnx-sum_(n=1)^infty((-1)^nx^n)/(n!n),
(8)

其中 gamma 是欧拉-马歇罗尼常数。

E_1(0)=infty
(9)
E_1(ix)=-ci(x)+isi(x),
(10)

其中 ci(x) 和 si(x) 是余弦积分和正弦积分。

该函数满足以下递推关系

E_n^'(x)=-E_(n-1)(x)
(11)
nE_(n+1)(x)=e^(-x)-xE_n(x).
(12)

一般来说，E_(n+1)(x) 可以从以下递推关系构建

E_n(x)=1/((n-1)!)[(-x)^(n-1)E_1(x)+e^(-x)sum_(s=0)^(n-2)(n-s-2)!(-x)^s].
(13)

级数展开式由下式给出

E_n(x)=x^(n-1)Gamma(1-n)+[-1/(1-n)+x/(2-n)-(x^2)/(2(3-n))+(x^3)/(6(4-n))-...]
(14)

渐近展开式由下式给出

E_n(x)=(e^(-x))/x[1-n/x+(n(n+1))/(x^2)+...].
(15)

另请参阅

余弦积分, Et 函数, 指数积分, Gompertz 常数, 正弦积分

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralE/

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (编). "指数积分和相关函数。" 第 5 章，数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第9次印刷。 New York: Dover, pp. 227-233, 1972.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "指数积分。" §6.3 in FORTRAN 数值方法：科学计算的艺术，第二版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 215-219, 1992.Spanier, J. and Oldham, K. B. "指数积分 Ei(x) 和相关函数。" 第 37 章，函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 351-360, 1987.

请引用为

Weisstein, Eric W. "TagBox[E, MathPlain]_n 函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/En-Function.html

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