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子阶乘

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第 n 个子阶乘（也称为错位数；Goulden 和 Jackson 1983, p. 48; Graham et al. 2003, p. 1050）是没有物体出现在其自然位置上的 n 个物体的排列的数量（即，“错位排列”）。

术语“子阶乘”由 Whitworth (1867 或 1878; Cajori 1993, p. 77) 引入。 欧拉 (Euler) (1809) 计算了前十项。

对于 n=1, 2, ...，!n 的前几个值是 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, ... (OEIS A000166)。 例如，{1,2,3} 的唯一错位排列是 {2,3,1} 和 {3,1,2}，因此 !3=2。 类似地，{1,2,3,4} 的错位排列是 {2,1,4,3}, {2,3,4,1}, {2,4,1,3}, {3,1,4,2}, {3,4,1,2}, {3,4,2,1}, {4,1,2,3}, {4,3,1,2}, 和 {4,3,2,1}，因此 !4=9。

对于 !n 的求和与公式包括

!n=n!sum_(k=0)^(n)((-1)^k)/(k!)
(1)
=sum_(k=0)^(n)k!(-1)^(n-k)(n; k)
(2)
=sum_(k=0)^(n)(n!(-1)^(n-k))/((n-k)!)
(3)
=(Gamma(n+1,-1))/e
(4)

其中 n! 是阶乘，(n; k) 是二项式系数，并且 Gamma(a,z) 是不完全伽玛函数。

子阶乘在 Wolfram 语言中实现为子阶乘[n].

Subfactorial

上面展示了推广到任何实数参数的子阶乘的实部和虚部的图，其中通常的整数值子阶乘对应于非负整数 n。

子阶乘也称为重合数，并满足递推关系

!n=n·!(n-1)+(-1)^n
(5)
!n=(n-1)[!(n-2)+!(n-1)].
(6)

子阶乘可以被认为是受限车摆放问题的一个特例。

子阶乘具有生成函数

G(x)=(e^(-(1+1/x)))/xEi(1+1/x)
(7)
=sum_(n=0)^(infty)(!n)x^n
(8)
=1+x^2+2x^3+9x^4+44x^5+265x^6+...,
(9)

其中 Ei(x) 是指数积分，以及指数生成函数

E(x)=(e^(-x))/(1-x)
(10)
=sum_(n=0)^(infty)(!n)(x^n)/(n!)
(11)
=1+1/2x^2+1/3x^3+3/8x^4+(11)/(30)x^5+...
(12)

(OEIS A053557 和 A053556)。

子阶乘通常表示为 !n, n!` (Graham et al. 2003, p. 194), n^_ (Dörrie 1965, p. 19), d(n) (Pemmaraju 和 Skiena 2003, p. 106), d_n (Goulden 和 Jackson 1983, p. 48; van Lint 和 Wilson 1992, p. 90), 或 D_n (Riordan 1980, p. 59; Stanley 1997, p. 489)，后者在将它们视为错位排列时尤其常用。

另一个方程由下式给出

!n=[(n!)/e],
(13)

其中 k! 是通常的阶乘，而 [x] 是最接近整数函数。 M. Hassani（私人通信，2004 年 10 月 28 日）给出了以下形式

!n=|_(n!+1)/e_|
(14)

对于 n>=1 和

!n=|_(e+e^(-1))n!_|-|_en!_|
(15)

对于 n!=1，其中 |_x_| 是向下取整函数。

对于 !n 的积分由下式给出

int_(-1)^inftyx^ne^(-(x+1))dx=!n.
(16)

对于 !n 的连分数由下式给出

!n=(n!)/e+((-1)^n)/(n+2-1/(n+3-2/(n+4-3/(n+5-...)))).
(17)

对于 n=0, 1, ...，!(10^n) 中的十进制数字的数量是 7, 158, 2568, 35660, 456574, 5565709, 65657059, ... (OEIS A114485)。

唯一的素数子阶乘是 !3=2。

唯一等于其数字的子阶乘之和的数字是

148349=!1+!4+!8+!3+!4+!9
(18)

(Madachy 1979)。

SubfactorialReIm
SubfactorialContours

子阶乘可以解析延拓到复平面，如上图所示。

另请参见

错位排列, 阶乘, 夫妻就座问题, 车摆放问题, 超阶乘

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参考文献

Cajori, F. 数学符号史，第 2 卷。 New York: Cosimo Classics, 2007.Dörrie, H. §6 in 初等数学的 100 个伟大问题：其历史和解决方案。 New York: Dover, pp. 19-21, 1965.Euler, L. "Solution quaestionis curiosae ex doctrina combinationum." Mémoires Académie Sciences St. Pétersbourg 3, 57-64, 1809. Reprinted in Opera Omnia, Series Prima, Vol. 7. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 435-440, 1915.Goulden, I. P. and Jackson, D. M. 组合枚举。 New York: Wiley, 1983.Graham, R. L.; Grötschel, M.; and Lovász, L. (Eds.). 组合数学手册，第 2 卷。 Cambridge, MA: MIT Press, 2003.Madachy, J. S. Madachy 的数学娱乐。 New York: Dover, p. 167, 1979.Pemmaraju, S. and Skiena, S. 计算离散数学：组合数学和图论与 Mathematica。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Riordan, J. 组合分析导论。 New York: Wiley, 1980.Sloane, N. J. A. 序列 A000166/M1937, A053556, A053557, 和 A114485 in "整数序列在线百科全书。"Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. 图 M1937 in 整数序列百科全书。 San Diego: Academic Press, 1995.Stanley, R. P. 枚举组合学，第 1 卷。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 67, 1997.van Lint, J. H. and Wilson, R. M. 组合数学教程。 New York: Cambridge University Press, 1992.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 27, 1986.Whitworth, W. A. 选择与机会，算术的两章，附录包含排列和组合的代数处理新论。 Cambridge, England: Deighton, Bell, 1867.Whitworth, W. A. 信使数学。 1878.

在 Wolfram|Alpha 上引用

子阶乘

请引用为

Weisstein, Eric W. "子阶乘。" 来源 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Subfactorial.html

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