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阶乘积

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对于 n=1, 2, ...，product_(k=1)^(n)k! 的前几个值（称为超阶乘）由 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... 给出 (OEIS A000178)。

可以写成阶乘积的前几个正整数是 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 36, 48, 64, 72, ... (OEIS A001013)。

对于 n=1, 2, ...，n! 作为每个大于 1 的较小阶乘的乘积的方式的数量由 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, ... 给出 (OEIS A034876)，并且不超过 n! 的阶乘乘积的数量为 1, 2, 4, 8, 15, 28, 49, 83, ... (OEIS A101976)。

唯一已知的阶乘，它们是三个或更多项的等差数列中的阶乘的乘积是

0!1!2!=2!
(1)
1!3!5!=6!
(2)
1!3!5!7!=10!
(3)

(Madachy 1979)。

唯一的解是

1!3!5!...(2n-1)!=m!
(4)

是

1!3!=3!
(5)
1!3!5!=6!
(6)
1!3!5!7!=10!
(7)

(Cucurezeanu 和 Enkers 1987)。

对于 r>=2 且 a_i>=a_j>=2 对于 i<j，对于 n<=18160，不存在非平凡的 形式 的恒等式

n!=a_1!a_2!...a_r!
(8)

除了

9!=7!3!3!2!
(9)
10!=7!6!
(10)
=7!5!3!
(11)
16!=14!5!2!
(12)

(Madachy 1979; Guy 1994, p. 80)。这里，“非平凡”意味着排除具有 n=a_2!...a_r! 或等价地 a_1=n-1 的恒等式，因为存在许多这种形式的恒等式，例如，6!=5!3!。

对于 n，n! 可以写成较小阶乘的乘积的值是 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 24, ... (OEIS A034878)。

另请参阅

阶乘, 阶乘和

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Cucurezeanu, I. 和 Enkers, D. "Problem E3063." Amer. Math. Monthly 94, 190, 1987.Guy, R. K. "Equal Products of Factorials," "Alternating Sums of Factorials," 和 "Equations Involving Factorial n." §B23, B43, 和 D25 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 80, 100, 和 193-194, 1994.Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 174, 1979.Sloane, N. J. A. 序列 A000178/M2049, A001013/M0993, A034876, A034878, 和 A101976 在 "整数序列在线百科全书" 中。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

阶乘积

请引用为

Weisstein, Eric W. "阶乘积。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FactorialProducts.html

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