十二面体图是对应于十二面体顶点连通性的柏拉图图，如上图在四种嵌入方式中所示。左侧的嵌入显示了十二面体的球面投影，第二个是正交投影，第三个来自 Read 和 Wilson (1998, p. 162)，第四个源自LCF 记号。
十二面体图是大星形十二面体以及十二面体的骨架。
它是三次对称图，表示为 
，并且与广义 Petersen 图 
同构。它可以用 LCF 记号描述为 [10, 7, 4, 
, 
, 10, 
, 7, 
, ![4]^2](/images/equations/DodecahedralGraph/Inline7.svg)
。
十二面体图在 Wolfram 语言 中实现为GraphData["DodecahedralGraph"].
它是距离正则的，具有相交数组 
，并且也是距离传递的。
它也是一个单位距离图 (Gerbracht 2008)，如上图在单位距离嵌入中所示。
在这个图上找到哈密顿环被称为二十面体游戏。十二面体图不是哈密顿连通的，并且是唯一已知的顶点传递哈密顿图（除了圈图 
）不是 H-*-连通的 (Stan Wagon，私人通信，2013 年 5 月 20 日)。
十二面体图有 20 个节点，30 条边，顶点连通度 3，边连通度 3，图直径 5，图半径 5，和围长 5。它的色数为 3。它的图谱是 
(Buekenhout 和 Parker 1998; Cvetkovic et al. 1998, p. 308)。它的自同构群的阶数为 
(Buekenhout 和 Parker 1998)。
十二面体图的最小平面整数嵌入的最大边长为 2 (Harborth et al. 1987)。它也是优美的 (Gardner 1983, pp. 158 and 163-164; Gallian 2018, p. 35; Knuth 2024)，具有 
种基本不同的标记，总共有 
种优美标记 (B. Dobbelaere，私人通信，2020 年 10 月 22 日)，这个数字由 T. Rokicki 在 2020 年 10 月 6 日独立（并且几乎同时！）确定 (D. Knuth，私人通信，2023 年 7 月 6 日)。
十二面体图可以构造为 
的图扩展，步长为 1 和 2，其中 
是一个路径图 (Biggs 1993, p. 119)。
大星形十二面体的骨架与十二面体图同构。
十二面体图的线图是二十-十二面体图。十二面体图的图平方是交叉十二面体图。
十二面体图具有色多项式
上面的图显示了十二面体图的邻接矩阵、关联矩阵和图距离矩阵。
十二面体图的二部双图是三次对称图 
。
下表总结了十二面体图的属性。
| 属性 | 值 |
| 自同构群阶数 | 120 |
| 特征多项式 |  |
| 色数 | 3 |
| 色多项式 |  |
| 无爪的 | 否 |
| 团数 | 2 |
| 由谱确定 | 是 |
| 直径 | 5 |
| 距离正则图 | 是 |
| 对偶图名称 | 二十面体图 |
| 边色数 | 3 |
| 边连通度 | 3 |
| 边数 | 30 |
| 欧拉图 | 否 |
| 广义 Petersen 指数 |  |
| 围长 | 5 |
| 哈密顿图 | 是 |
| 哈密顿环计数 | 60 |
| 哈密顿路径计数 | ? |
| 积分图 | 否 |
| 独立数 | 8 |
| LCF 记号 | ![[-10,-4,7,-7,4,-10,7,4,-4,-7]^2](/images/equations/DodecahedralGraph/Inline20.svg) |
| 线图 | ? |
| 线图名称 | 二十-十二面体图 |
| 完美匹配图 | 否 |
| 平面图 | 是 |
| 多面体图 | 是 |
| 多面体嵌入名称 | 十二面体, 大星形十二面体 |
| 半径 | 5 |
| 正则图 | 是 |
| 谱 |  |
| 无平方图 | 是 |
| 可追踪图 | 是 |
| 无三角形图 | 是 |
| 顶点连通度 | 3 |
| 顶点数 | 20 |
| 弱正则参数 |  |
另请参阅
三次对称图,
立方图,
Grünbaum 图,
二十面体图,
二十面体游戏,
八面体图,
柏拉图图,
四面体图
使用 探索
参考文献
Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, 1987.Bondy, J. A. 和 Murty, U. S. R. Graph Theory with Applications. New York: North Holland, p. 234, 1976.Buekenhout, F. 和 Parker, M. "The Number of Nets of the Regular Convex Polytopes in Dimension 
." Disc. Math. 186, 69-94, 1998.Chartrand, G. Introductory Graph Theory. New York: Dover, 1985.Cvetković, D. M.; Doob, M.; 和 Sachs, H. Spectra of Graphs: Theory and Applications, 3rd rev. enl. ed. New York: Wiley, 1998.DistanceRegular.org. "Dodecahedron." http://www.distanceregular.org/graphs/dodecahedron.html.Gardner, M. "Golomb's Graceful Graphs." Ch. 15 in Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements. New York: W. H. Freeman, pp. 152-165, 1983.Gerbracht, E. H.-A. "On the Unit Distance Embeddability of Connected Cubic Symmetric Graphs." Kolloquium über Kombinatorik. Magdeburg, Germany. Nov. 15, 2008.Harborth, H. 和 Möller, M. "Minimum Integral Drawings of the Platonic Graphs." Math. Mag. 67, 355-358, 1994.Harborth, H.; Kemnitz, A.; Möller, M.; 和 Süssenbach, A. "Ganzzahlige planare Darstellungen der platonischen Körper." Elem. Math. 42, 118-122, 1987.Knuth, D. E. Problem 101 in §7.2.2.3 in The Art of Computer Programming, Vol. 4. Pre-Fascicle 7A, Dec. 5, pp. 122 和 181-192, 2024.Read, R. C. 和 Wilson, R. J. An Atlas of Graphs. Oxford, England: Oxford University Press, p. 266, 1998.Royle, G. "F020A." http://www.csse.uwa.edu.au/~gordon/foster/F020A.html.Skiena, S. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 198, 1990.Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1032, 2002.
请引用本文为
Weisstein, Eric W. "Dodecahedral Graph." 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DodecahedralGraph.html
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