LCF 记号

LCF 记号是由约书亚·莱德伯格（1958 年诺贝尔生理学或医学奖得主）设计的一种简洁方便的记号，用于表示三次 哈密顿图（Lederberg 1965）。该记号随后被 Frucht (1976) 和 Coxeter et al. (1981) 修改，因此被 Frucht (1976) 称为“LCF 记号”。Pegg (2003) 使用该记号描述了许多三次对称图。该记号仅适用于哈密顿图，因为它通过将哈密顿环放置在圆形嵌入中，然后用边连接指定的节点对，从而实现其对称性和简洁性。

例如，记号 描述了上面所示的立方图。要了解其工作原理，首先从环图 开始。从顶点 开始，顺时针数三个顶点 () 到 ，并将其与 用一条边连接。现在前进到 ，逆时针数三个顶点 () 到顶点 ，并将 和 用一条边连接。这是过程 的一次迭代，然后重复三次（总共四次，对应于 的指数），直到到达原始顶点，从而得到由 表示的图。请注意，该图实际上在此过程中被遍历了两次，因为每条边都被构造了两次，每个方向一次。

给定图的 LCF 记号不是唯一的，因为它可以向左或向右移动任意位置，或者可以反转（条目的符号也相应改变，以对应于外环的编号也必须以相反的顺序完成的事实）。此外，对于具有多个哈密顿环的图，对于哪个环映射到外环，可能有不同的选择。

因此，根据哈密顿环的结构，单个图可能具有几个不同的 LCF 记号，这些记号具有与不同嵌入相对应的不同指数。此外，也可能存在具有相同指数的不等价记号。例如，上面所示的 18 个节点上的三次顶点传递图具有四个 LCF 记号 、 、 、 和 [, , 5, 9, , 5, 9, , 5, 7, , 7, 9, , 5, 9, , 5]。

下表给出了节点数不超过 20 的命名三次哈密顿图的最简单（即最短）LCF 记号。这里， 表示 个节点上的三次对称图。

顶点数	图	“最小”LCF 记号
4	四面体图
6	效用图
6	3-棱柱图
8	立方图
8	3-火柴棍图
8	4-莫比乌斯梯形图
10	5-莫比乌斯梯形图
10	5-棱柱图
12	富兰克林图
12	Frucht 图
12	广义 Petersen 图 (6,2)
12	6-莫比乌斯梯形图
12	6-棱柱图
12	截角四面体图
14	广义 Petersen 图 (7, 2)
14	希伍德图
14	7-莫比乌斯梯形图
14	7-棱柱图
16	三次顶点传递图 Ct19
16	莫比乌斯-坎特图
16	8-莫比乌斯梯形图
16	8-棱柱图
18	帕普斯图
18	三次顶点传递图 Ct20
18	三次顶点传递图 Ct23
18	广义 Petersen 图 (9,2)
18	广义 Petersen 图 (9,3)
18	9-莫比乌斯梯形图
18	9-棱柱图
20	三次顶点传递图 Ct25
20	三次顶点传递图 Ct28
20	三次顶点传递图 Ct29
20	德扎格图
20	十二面体图
20	广义 Petersen 图 (10, 4)
20	直径为 3 的最大三次非平面图
20	10-莫比乌斯梯形图
20	10-棱柱图