拉马努金 g- 和 G-函数

根据拉马努金 (1913-1914)，写出

(1)

(2)

这些函数满足以下等式

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和 可以使用模函数理论推导出来，并且当 是 有理数时，总是可以表示为代数方程的根。它们与 韦伯函数有关。

为了简单起见，拉马努金对偶数制表了 ，对奇数制表了 。然而，公式 (6) 允许 和 用 和 表示，得到

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使用 (◇) 和上述两个方程，可以计算出 用 或 表示

(9)

用参数 parameter 和互补参数 parameter 表示，

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这里，

(12)

是 椭圆 lambda 函数，它给出 的值，使得

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求解 得到

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直接用 解 和 然后得到

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拉马努金 (1913-1914) 以及 Borwein 和 Borwein (1987) 中可以找到 的小值的解析值，并且 Weisstein 已经汇编了这些值。拉马努金 (1913-1914) 包含一个印刷错误，将 标记为 。