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星形线

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一个四尖的内摆线，有时也被称为四尖瓣线、立方摆线或副圆。星形线的参数方程可以通过将 n=a/b=4 或 4/3 代入一般内摆线的方程得到，从而得到参数方程

x=3bcost+bcos(3t)
(1)
=4bcos^3t
(2)
=acos^3t
(3)
y=3bsint-bsin(3t)
(4)
=4bsin^3t
(5)
=asin^3t
(6)

对于 0<=phi<=2pi。

可以通过计算得到极坐标方程

theta=tan^(-1)(y/x)=tan^(-1)(tan^3t),
(7)

并代入 r=sqrt(x^2+y^2) 得到

r=(|sectheta|)/((1+tan^(2/3)theta)^(3/2))
(8)

对于 0<=theta<=2pi。

AstroidSquashed

在笛卡尔坐标系中，

x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3).
(9)

将曲线推广到

(x/a)^(2/3)+(y/b)^(2/3)=1
(10)

得到“挤压”的星形线，这是超椭圆的一个特例，对应于参数 r=2/3。

在以中心为垂足点的垂足坐标系中，方程为

r^2+3p^2=a^2,
(11)

和塞萨罗方程为

rho^2+4s^2=6as.
(12)

进一步推广到以下形式的方程

|x/a|^r+|y/b|^r=1,
(13)

被称为超椭圆。

弧长、曲率和切线角为

s(t)=3/2sin^2t
(14)
kappa(t)=-2/3|csc(2t)|
(15)
phi(t)=-t,
(16)

其中 s(t) 的公式对于 0<t<pi/2 成立。

整个星形线的周长可以从一般的内摆线公式计算得出

s_n=(8a(n-1))/n
(17)

其中 n=4，

s=6a.
(18)

对于挤压的星形线，周长的长度为

s=(4(a^2+ab+b^2))/(a+b).
(19)
AstroidArea

面积由下式给出

A_n=((n-1)(n-2))/(n^2)pia^2
(20)

其中 n=4，

A=3/8pia^2
(21)
approx 1.178097a^2
(22)

(OEIS A093828)。

椭圆的渐屈线是拉伸的内摆线。从参数为 p 的点出发，切线 T 的梯度为 -tanp。这条切线 T 的方程是

xsinp+ycosp=1/2asin(2p)
(23)

(MacTutor Archive)。令 T 与 x轴 和 y轴 分别交于 X 和 Y。那么长度 XY 是一个常数，等于 a。

AstroidLadders
AstroidLines

当一条线段的每个端点都在一对垂直轴上移动时，星形线也可以形成为产生的包络（例如，它是由梯子靠在墙上滑动，或者车库门顶角沿着垂直轨道移动时所包围的曲线；上图左图）。因此，星形线是一种滑线。要看到这一点，请注意，对于长度为 L 的梯子，与墙和地板的接触点分别为 (x_0,0) 和 (0,sqrt(L^2-x_0^2))。因此，梯子脚位于 (x_0,0) 处的直线方程为

y-0=(sqrt(L^2-x_0^2))/(-x_0)(x-x_0),
(24)

可以写成

U(x,y,x_0)=y+(sqrt(L^2-x_0^2))/(x_0)(x-x_0).
(25)

包络的方程由以下联立方程的解给出

{U(x,y,x_0)=y+(sqrt(L^2-x_0^2))/(x_0)(x-x_0)=0; (partialU)/(partialx_0)=(x_0^3-L^2x)/(x_0^2sqrt(L^2-x_0^2))=0,
(26)

即

x=(x_0^3)/(L^2)
(27)
y=((L^2-x_0^2)^(3/2))/(L^2).
(28)

注意到

x^(2/3)=(x_0^2)/(L^(4/3))
(29)
y^(2/3)=(L^2-x_0^2)/(L^(4/3))
(30)

允许将其隐式地写成

x^(2/3)+y^(2/3)=L^(2/3),
(31)

即星形线的方程，正如所承诺的那样。

AstroidLaddersExtended

当长度为 L 的“车库门”在长度为 DeltaL 的“延伸”上下移动的开槽轨道时，也会得到一个令人惊讶的答案。在这种情况下，门脚在水平位置 x_0 且角度为 theta 时，“延伸”端的坐标由下式给出

x=-DeltaLcostheta
(32)
y=sqrt(L^2-x_0^2)+DeltaLsintheta.
(33)

使用

x_0=Lcostheta
(34)

得到

x=-(DeltaL)/Lx_0
(35)
y=sqrt(L^2-x_0^2)(1+(DeltaL)/L).
(36)

求解 (◇) 中的 x_0，代入 (◇) 并平方后得到

y^2=L^2-(L^2x^2)/((DeltaL)^2)(1+(DeltaL)/L)^2.
(37)

重新排列得到方程

(x^2)/((DeltaL)^2)+(y^2)/((L+DeltaL)^2)=1,
(38)

（象限的）椭圆的方程，其半长轴和半短轴的长度分别为 deltal 和 l+deltal。

AstroidEllipses

星形线也是椭圆族的包络

(x^2)/(c^2)+(y^2)/((1-c)^2)-1=0,
(39)

如上所示 (Wells 1991)。

AstroidByTangents

星形线的一个有吸引力的排列可以构造为一组与圆弧相切的切线 (Trott 2004, pp. 18-19)。

另请参阅

星形椭球、三角线、椭圆包络、双曲八面体、拉梅曲线、肾脏线、毛茛线、超椭圆

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 219, 1987.Lawrence, J. D. 特殊平面曲线目录。 New York: Dover, pp. 172-175, 1972.Lockwood, E. H. "星形线。" Ch. 6 in 曲线之书。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 52-61, 1967.MacTutor 数学史档案。“星形线。” http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Astroid.html.Sloane, N. J. A. 序列 A093828 在“整数序列在线百科全书”中。Steinhaus, H. 数学快照，第 3 版。 New York: Dover, pp. 146-147, 1999.Trott, M. Graphica 1：Mathematica 图形世界。将虚构变为现实：Michael Trott 的图像。 Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 11 和 83, 1999.Trott, M. Mathematica 图形指南。 New York: Springer-Verlag, p. 19, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的几何词典。 London: Penguin, pp. 10-11, 1991.Yates, R. C. "星形线。" 曲线及其性质手册。 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 1-3, 1952.

引用为

Weisstein, Eric W. “星形线。” 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Astroid.html

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