超椭圆

超椭圆是具有笛卡尔方程的曲线

(1)

最早由拉梅于 1818 年讨论。超椭圆可以用参数方程描述为

			(2)
			(3)

有时会限制 。

推广到三维曲面被称为超椭球体。

a=b 的超椭圆也称为拉梅曲线或拉梅卵形线，而 a=b 且 r=4 的情况有时被称为方形圆。 类似地，a!=b 且 r=4 的超椭圆可能被称为矩形椭圆。

上面显示了一系列超椭圆，并在上方右侧说明了特殊情况 、1 和 2。下表总结了一些特殊情况。皮特·海恩在他的多个项目中使用了 r=5/2 和许多不同的 a/b 比率。例如，他在瑞典斯德哥尔摩的 Sergels Torg（塞尔格尔广场）（Vestergaard）中使用了 a/b=6/5，在他的桌子中使用了 a/b=3/2。

	曲线
	（压缩的）星形线
1	（压缩的）菱形
2	椭圆
	皮特·海恩的“超椭圆”
4	矩形椭圆

如果 r 是有理数，则超椭圆是代数的。但是，对于无理数 r，它是超越的。对于偶数 整数 r=n，随着 n 的增加，曲线变得更接近矩形。

超椭圆的面积由下式给出

			(4)
			(5)

上面的图示显示了由函数给出的超椭圆的推广

(6)

对于 p=1, ..., 4 和 q=1, ..., 4。

Gielis (2003) 考虑了超椭圆在极坐标中给出的进一步推广，由下式给出

(7)

在这里，参数 m 的引入和极坐标的使用产生了具有 m 倍旋转对称性的曲线。上面说明了不同参数的许多曲线，以及曲线类似于的生物名称。虽然上面的方程，被 Gielis (2003) 称为“超公式”，显然能够描述许多具有各种对称性的不同生物形状，但似乎不太可能该公式具有任何特别基本的生物学意义（Peterson 2002，Whitfield 2003），除了作为一种可能方便的参数化。事实上，虽然“超公式”中的自由参数数量为六个，但 Gielis (2003) 也将其用作前因子，用于乘以其他极坐标曲线（例如，对数螺线、玫瑰线曲线等），因此方程中的参数数量实际上更大。当然，任何具有大量自由参数的公式都能够描述非常大的参数空间。（为了强调这个事实，有时幽默地说，给定八个左右的自由参数，就可以描述一头大象。）

上面说明了由“超公式”生成的曲线族，其中 a=b=1 且 n 从 0 到 2 变化，以及 n=n_1=n_2=n_3 从 1 到 8 变化的值。