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内摆线

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HypocycloidDiagram

由固定点 P 在半径为 b 的小 圆 的 圆周 上生成，该小圆在一个半径为 a>b 的大 圆 的内部滚动。 因此，内摆线是 外旋轮线，其中 h=b。

为了推导内摆线的方程，将小 圆 上的点绕其中心旋转的 角度 称为 theta，将大 圆 的中心到小 圆 的中心的 角度 称为 phi。 则

(a-b)phi=btheta,
(1)

因此

theta=(a-b)/bphi.
(2)

称 rho=a-2b。 如果 x(0)=rho，则第一个点在最小半径处，内摆线的笛卡尔参数方程为

x=(a-b)cosphi-bcostheta
(3)
=(a-b)cosphi-bcos((a-b)/bphi)
(4)
y=(a-b)sinphi+bsintheta
(5)
=(a-b)sinphi+bsin((a-b)/bphi).
(6)

如果 x(0)=a，因此第一个点在最大半径处（在 圆 上），则内摆线的方程为

x=(a-b)cosphi+bcos((a-b)/bphi)
(7)
y=(a-b)sinphi-bsin((a-b)/bphi).
(8)

内摆线的 曲率、弧长 和 切线角 由下式给出

kappa(phi)=(2b-a)/(4b(a-b))csc((aphi)/(2b))
(9)
s(phi)=(8(a-b)b)/asin^2((aphi)/(4b))
(10)
phi_t(phi)=phi(1-a/(2b)).
(11)
HypocycloidIntegers
Hypocycloids with $a/b$ an integer

一个 n 尖瓣内摆线具有 a/b=n。 对于 n=a/b 为整数且 x(0)=a，因此内摆线的方程变为

x=a/n[(n-1)cosphi-cos[(n-1)phi]
(12)
y=a/n[(n-1)sinphi+sin[(n-1)phi],
(13)

因此 弧长 和面积为

s_n=8b(n-1)=(8a(n-1))/n
(14)
A_n=((n-1)(n-2))/(n^2)pia^2.
(15)

一个 2 尖瓣内摆线是一个 线段（Steinhaus 1999, p. 145; Kanas 2003），通过在方程 (◇) 和 (◇) 中设置 a=2b 并注意到方程简化为

x=asinphi
(16)
y=0.
(17)

波斯天文学家和数学家纳西尔丁·图西 (Nasir Al-Din al-Tusi) (1201-1274) 注意到这一结果，有时被称为“图西夫妇”，以纪念他（Sotiroudis 和 Paschos 1999, p. 60; Kanas 2003）。

下表总结了对于 a/b 的特殊整数值，赋予此内摆线和其他内摆线的名称。

n=a/b内摆线
2线段（图西夫妇）
3三角内摆线
4星形线
HypocycloidRationals
Hypocycloids with $a/b$ rational

如果 n=a/b 是有理数，则曲线最终会闭合自身，并具有 a 个尖瓣。 上面说明了许多 有理数 值的 a/b 的内摆线。

HypocycloidIrrational

如果 a/b 是 无理数，则曲线永远不会闭合自身。 上面说明了许多 无理数 值的 a/b 的内摆线。

HypocycloidConstruction

也可以通过从 圆 的 直径 开始构造 n 尖瓣内摆线，将一端偏移一系列步长，同时将另一端在相反方向偏移 n-1 倍的步长，并延伸到 圆 的边缘之外。 绕 圆 行驶一周后，会产生一个 n 尖瓣内摆线，如上图所示（Madachy 1979）。

设 r 为到固定点的径向距离。 对于 挠率半径 rho 和 弧长 s，内摆线可以由方程给出

s^2+rho^2=16r^2
(18)

（Kreyszig 1991, pp. 63-64）。 内摆线也满足

sin^2psi=(rho^2)/(a^2-rho^2)(a^2-r^2)/(r^2),
(19)

其中

r(dr)/(dtheta)=tanpsi
(20)

且 psi 是 半径向量 和曲线的 切线 之间的 角度。

内摆线的方程可以写成一种形式，这种形式在解决具有径向对称性的 变分法 问题时很有用。 考虑 x(0)=rho 的情况，则

r^2=x^2+y^2 =[(a-b)^2cos^2phi-2(a-b)bcosphicos((a-b)/bphi)+b^2cos^2((a-b)/bphi)+(a-b)^2sin^2phi+2(a-b)bsinphisin((a-b)/bphi)+b^2sin^2((a-b)/bphi)] ={(a-b)^2+b^2-2(a-b)b[cosphicos((a-b)/bphi)-sinphisin((a-b)/bphi)]} =(a-b)^2+b^2-2(a-b)bcos(a/bphi).
(21)

但是 rho=a-2b，所以 b=(a-rho)/2，这给出

(a-b)^2+b^2=[a-1/2(a-rho)]^2+[1/2(a-rho)]^2
(22)
=[1/2(a+rho)]^2+[1/2(a-rho)]^2
(23)
=1/2(a^2+rho^2)
(24)
2(a-b)b=2[a-1/2(a-rho)]1/2(a-rho)
(25)
=1/2(a+rho)(a-rho)
(26)
=1/2(a^2-rho^2).
(27)

现在让

2Omegat=a/bphi,
(28)

因此

phi=(a-rho)/aOmegat
(29)
phi/(a-rho)=(Omegat)/a,
(30)

然后

r^2=1/2(a^2+rho^2)-1/2(a^2-rho^2)cos(a/bphi)
(31)
=1/2(a^2+rho^2)-1/2(a^2-rho^2)cos(2Omegat).
(32)

极角 是

tantheta=y/x=((a-b)sinphi+bsin((a-b)/aphi))/((a-b)cosphi-bcos((a-b)/aphi)).
(33)

但是

b=1/2(a-rho)
(34)
a-b=1/2(a+rho)
(35)
(a-b)/b=(a+rho)/(a-rho),
(36)

因此

tantheta=(1/2(a+rho)sinphi+1/2(a-rho)sin((a+rho)/(z-rho)phi))/(1/2(a+rho)cosphi-1/2(a-rho)cos((a+rho)/(a-rho)phi))
(37)
=((a+rho)sin((a-rho)/aOmegat)+(a-rho)sin((a+rho)/aOmegat))/((a+rho)cos((a-rho)/aOmegat)-(a-rho)cos((a+rho)/aOmegat))
(38)
=(a[sin((a-rho)/aOmegat)+sin((a+rho)/aOmegat)]+rho[sin((a-rho)/aOmegat)-sin((a+rho)/aOmegat)])/(a[cos((a-rho)/aOmegat)-cos((a+rho)/aOmegat)]+rho[cos((a-rho)/aOmegat)+cos((a+rho)/aOmegat)])
(39)
=(2asin(Omegat)cos(rho/aOmegat)-2rhocos(Omegat)sin(rho/aOmegat))/(2asin(Omegat)sin(rho/aOmegat)+2rhocos(Omegat)cos(rho/aOmegat))
(40)
=(atan(Omegat)-rhotan(rho/aOmegat))/(atan(Omegat)tan(rho/aOmegat)+rho).
(41)

计算

tan(theta+rho/aOmegat)=([atan(Omegat)-rhotan(rho/aOmegat)+tan(rho/aOmegat)][atan(Omegat)tan(rho/aOmegat)+rho])/([atan(Omegat)tan(rho/aOmegat)+rho]-[atan(Omegat)-rhotan(rho/aOmegat)]tan(rho/aOmegat))
(42)
=(atan(Omegat)[1+tan^2(rho/aOmegat)])/(rho[1+tan^2(rho/aOmegat)])
(43)
=a/rhotan(Omegat),
(44)

然后给出

theta=tan^(-1)[a/rhotan(Omegat)]-rho/aOmegat.
(45)

最后，代入得到

theta=tan^(-1)[a/rhotan(a/(a-rho)phi)]-rho/aa/(a-rho)phi
(46)
=tan^(-1)[a/rhotan(a/(a-rho)phi)]-rho/(a-rho)phi.
(47)

这种形式在解决 带隧道的球体 问题时很有用，这是 最速降线问题 的推广，目的是找到在重力场中穿过 球体（重力根据高斯定律变化）的隧道的形状，使得在重力作用下，球体 表面上两点之间的旅行时间最小化。

另请参阅

星形线, 旋轮线, 三角内摆线, 外摆线, 内摆线渐屈线, 内摆线渐伸线, 内摆线垂足曲线, 图西夫妇

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参考文献

Bogomolny, A. "Cycloids." http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cycloids.shtml.Borwein, J. 和 Bailey, D. 实验数学：21 世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, p. 83, 2003.Kanas, N. "From Ptolemy to the Renaissance: How Classical Astronomy Survived the Dark Ages." 天空与望远镜 105, 50-58, 1 月 2003.Kreyszig, E. 微分几何。 New York: Dover, 1991.Lawrence, J. D. 特殊平面曲线目录。 New York: Dover, pp. 171-173, 1972.Lemaire, J. Hypocycloïdes et epicycloïdes. Paris: Albert Blanchard, 1967.MacTutor 数学史档案馆. "Hypocycloid." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Hypocycloid.html.Madachy, J. S. Madachy 的数学娱乐。 New York: Dover, pp. 225-231, 1979.Sotiroudis, P. 和 Paschos, E. A. 星图：公元 1300 年以来的拜占庭天文学。 Singapore: World Scientific, 1999.Steinhaus, H. 数学快照，第 3 版。 New York: Dover, 1999.Wagon, S. Mathematica 实战。 New York: W. H. Freeman, pp. 50-52, 1991.Yates, R. C. "Epi- and Hypo-Cycloids." 曲线及其性质手册。 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 81-85, 1952.

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "内摆线。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Hypocycloid.html

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