同调

同调是代数和拓扑学的许多分支中使用的概念。历史上，“同调”一词最初由庞加莱在拓扑意义上使用。对他来说，它的意思基本上就是现在所说的配边，意思是同调被认为是映射到流形中的流形之间的关系。当这些流形在所讨论的流形内部形成高维流形的边界时，它们就形成了同调。

为了简化同调的定义，庞加莱简化了他处理的空间。他假设他处理的所有空间都具有三角剖分（即，它们是“单纯复形”）。然后，他没有谈论这些空间中的一般“对象”，而是将自己限制为子复形，即空间中仅由空间三角剖分中的单纯形组成的对象。最终，庞加莱版本的同调被摒弃，并被更一般的奇异同调所取代。奇异同调是数学家所说的“同调”的概念。

然而，在现代用法中，“同调”一词用来表示同调群。例如，如果有人说“通过计算的同调来”，他们的意思是“通过计算的同调群来”。但有时，同调在“空间中的同调”的语境中被更宽松地使用，这对应于奇异同调群。

同调的一个例子是中区域的一次整同调。在这种情况下，同调类由闭环的有限和或差表示。例如，考虑上图所示的二次穿孔平面中的环。

等式在同调中成立，因为差是紧支撑区域的同调边界。空间的同调是一个反映拓扑结构的代数对象。使用的代数工具称为同调代数，在该语言中，同调是导出函子，是长正合序列的同调。

一个空间的奇异同调群衡量该空间中存在有限（紧）无边界对象的程度，使得这些对象不是该空间中其他有限（紧）对象的边界。

广义同调或上同调理论必须满足Eilenberg-Steenrod 公理的所有条件，但维度公理除外。