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霍普夫代数

给定一个交换环 R，一个R-代数 H 是一个霍普夫代数，如果它具有由 R-代数同态给出的附加结构

Delta:H->H tensor _RH
(1)

（余乘法）和

epsilon:H->R
(2)

（余单位）以及一个 R-模 同态

lambda:H->H
(3)

（对极），它们满足以下性质

1. 余结合性

(I tensor Delta)Delta=(Delta tensor I)Delta:H-->H tensor H tensor H.
(4)

2. 余单位性

m(I tensor epsilon)Delta=I=m(epsilon tensor I)Delta.
(5)

3. 对极性质

m(I tensor lambda)Delta=iotaepsilon=m(lambda tensor I)Delta,
(6)

其中 I 是 H 上的恒等映射，m:H tensor H-->H 是 H 中的乘法，而 iota:R->H 是 R-代数 H 的结构映射，也称为单位映射。

Faà di Bruno 公式可以被投射到一个框架中，该框架是霍普夫代数的一个特例 (Figueroa and Gracia-Bondía 2005)。

HopfAlgebra1

余结合性意味着上面的图表是可交换的，意味着如果箭头被反转并且 m 被 Delta 交换，则将获得说明 H 内乘法结合性的图表。并且由于 iota 将基环 R 嵌入到 H 中，余单位将 H 映射到 R。余单位性属性类似于 iota 满足的对偶属性。使用 epsilon 和 Delta，一个代数变成双代数，但正是对极的添加使 H 成为霍普夫代数。对极应该被认为是 H 上的逆运算，类似于群中存在的逆运算，并且对极在代数和余代数的层面上是反同态，这意味着

lambda(hh^')=lambda(h^')lambda(h)
(7)
Deltalambda(h)=(lambda tensor lambda)tauDelta,
(8)

其中 tau(h tensor h^')=h^' tensor h，这被称为交换映射。此外，与群中的逆运算一样，在许多情况下，对极是自对合。

霍普夫代数的原型例子是群环，其中 G 是一个有限群，并且 H=R[G] 是通过以下方式的霍普夫代数

Delta(g)=g tensor g
(9)
epsilon(g)=1_R
(10)
lambda(g)=g^(-1)
(11)

对于 g in G，并通过线性扩展到所有 R[G]。

对于一般的霍普夫代数，余乘法以 Sweedler 记号给出。也就是说，如果 h in H，那么

Delta(h)=sum_((h))h_((1)) tensor h_((2)),
(12)

这允许通过余结合性

(I tensor Delta)Delta(h)=(Delta tensor I)Delta(h)
(13)
=sum_((h))h_((1)) tensor h_((2)) tensor h_((3)) in H tensor H tensor H
(14)

被明确地写出。

HopfAlgebra2

霍普夫代数可以根据人们在代数之间做出的区分进行对偶化分类。例如，如果 H 是交换的，这等价于说 m:H tensor H->H 满足属性 m degreestau=m，其中 tau 是上面提到的交换映射。同样地，如果 tau degreesDelta=Delta，即如果上面的图表是可交换的，则称霍普夫代数是余交换的。此外，交换性和余交换性是独立的属性，因此可以考虑满足其中一个、两者或两者都不满足的霍普夫代数。

此外，正如代数的线性对偶是一个代数一样，霍普夫代数 H 的对偶也是一个霍普夫代数，其中 H 的代数结构变为 H^* 的余代数结构，反之亦然，并且 H 的对极以规范的方式转换为 H^* 的对极。

另请参阅

Faà di Bruno 公式, 霍普夫映射

此条目由 Timothy Kohl 贡献

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参考文献

Bergman, G. "Everybody Knows What a Hopf Algebra Is." Amer. Math. Soc. Contemp. Math 43, 25-48, 1985.Childs, L. Taming Wild Extensions: Hopf Algebras and Local Galois Module Theory. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Figueroa, H. and Gracia-Bondía, J. M. "Combinatorial Hopf Algebras in Quantum Field Theory I." 19 Mar 2005. http://arxiv.org/abs/hep-th/0408145.Kassel, C. Quantum Groups. New York: Springer-Verlag, 1995.Montgomery, S. Hopf Algebras and Their Actions on Rings. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993.Sweedler, M. E. Hopf Algebras. Reading, MA: Addison-Wesley, 1969.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

霍普夫代数

请引用为

Kohl, Timothy. "霍普夫代数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/HopfAlgebra.html

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