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Kontsevich 积分

Kontsevich 积分是 Gauss 积分 对 环绕数 的深远推广，并为构造 结的通用 Vassiliev 不变量 提供了一种工具。实际上，任何 Vassiliev 结不变量 都可以从中推导出来。

为了构造 Kontsevich 积分，将三维空间 R^3 表示为复直线 C (坐标为 z) 和实直线 R (坐标为 t) 的 直积。积分是为 Morse 结 定义的，即以某种方式嵌入到 R^3=C_z×R_t 中的结 K，使得坐标 t 是 K 上的 Morse 函数，并且其值属于 弦图代数 A 的 分次完备化 h^_calA。

结 K 的 Kontsevich 积分 Z(K) 定义为

Z(K)=sum_(m=0)^infty1/((2pii)^m)int_(t_(min)<t_1<...<t_m<t_(max); t_j are noncritical)sum_(P={(z_j,z_j^')})(-1)^vD_P ^ _(j=1)^m(dz_j-dz_j^')/(z_j-z_j^'),
(1)

其中，此公式的组成部分具有以下含义。实数 t_(min) 和 t_(max) 是函数 t 在 K 上的最小值和最大值。

KontsevichIntegral

积分域是 m 维单形 t_(min)<t_1<...<t_m<t_(max)，它被临界值划分为一定数量的连通分量。例如，对于单结和 m=2 (左图) 的嵌入，相应的积分域有六个连通分量，如上右图所示。

被积函数中加项的数量在积分域的每个连通分量中是常数，但在不同分量中可能不同。在每个平面 {t=t_j} subset R^3 中，在 K 上选择一对无序的不同点 (z_j,t_j) 和 (z_j^',t_j)，使得 z_j(t_j) 和 z_j^'(t_j) 是连续函数。用 P={(z_j,z_j^')} 表示 j=1, ..., m 的此类点对的集合，那么被积函数是所有 P 选择的求和。在上面的例子中，对于分量 {t_(min)<t_1<t_(c_1),t_(c_2)<t_2<t_(max)}，我们在水平面 {t=t_1} 和 {t=t_2} 上只有一对可能的点。因此，此分量的 P 求和仅包含一个加项。相反，在分量 {t_(min)<t_1<t_(c_1),t_(c_1)<t_2<t_(c_2)} 中，对于水平面 {t=t_1}，我们仍然只有一个可能性，但是平面 {t=t_2} 与我们的结 K 相交于四个点。因此，我们有 (4; 2)=6 对可能的点对 (z_2,z_2^')，并且加项的总数为六个（见下图）。

对于配对 P，符号 'v' 表示 (z_j,t_j) 或 (z_j^',t_j) 在 P 中坐标 t 沿 结 K 的方向减小的点的数量。

KontsevichChordDiagram

固定一个配对 P，将结 K 视为一个有向圆，并通过弦连接点 (z_j,t_j) 和 (z_j^',t_j) 以获得具有 m 条弦的弦图。代数 A 的对应元素表示为 D_P。在上图中，显示了每个连通分量的一个可能的配对，带有符号 (-1)^v 的相应弦图，以及被积函数的加项数量（其中一些由于 单项关系 在 A 中等于零）。

在每个连通分量上，z_j 和 z_j^' 是 t_j 的 光滑函数。用 ^ _(j=1)^m(dz_j-dz_j^')/(z_j-z_j^') 我们指的是将此形式 拉回 到变量 t_1, ..., t_m 的积分域。积分域被认为具有空间 R^m 的 流形定向，该定向由坐标 t_1, ..., t_m 的自然顺序定义。

按照惯例，Kontsevich 积分中对应于 m=0 的项是系数为一的 0 阶（唯一）弦图。它表示代数 A 的单位。

由于 单项关系，Kontsevich 积分是收敛的。在 Morse 结类中，它在结的形变下是不变的。不幸的是，Kontsevich 积分在改变函数 t 的临界点数量的形变下不是不变的。但是，该公式显示了积分在这种形变下如何变化

KontsevichDeformation

在上面的公式中，Z 的图形参数表示任意结的两个嵌入，仅在图示片段中有所不同，

KontsevichHump

H 是驼峰 (即，以指定方式嵌入到 R^3 中的 单结；如上图所示)，并且该乘积是 弦图 的完备代数 h^_calA 中的乘积。最后一个等式允许通过公式定义通用 Vassiliev 不变量

I(K)=(Z(K))/(Z(H)^(c/2)),
(2)

其中 c 表示 K 的临界点数量，而 quotient 表示根据规则 (1+a)^(-1)=1-a+a^2-a^3+... 在代数 h^_calA 中的除法。通用 Vassiliev 不变量 I(K) 在 K 的任意形变下是不变的。

考虑在具有 m 条弦的弦图集合上满足单项和四项关系（权系统）的函数 w。将此函数应用于通用 Vassiliev 不变量 w(I(K))，我们得到一个数值结不变量。此不变量将是 m 阶的 Vassiliev 不变量，并且任何 Vassiliev 不变量都可以通过这种方式获得。

Kontsevich 积分在结的自然运算（例如镜像反射、改变结的方向和结的突变）方面表现良好。在适当的归一化中，它在结的 连通和 下是可乘的

I^'(K_1#K_2)=I^'(K_1)I^'(K_2),
(3)

其中 I^'(K)=Z(H)I(K)。对于任何结 K，Z(K) 在由弦图组成的任意基下的展开式中的系数是有理数 (Kontsevich 1993, Le 和 Murakami 1996)。

计算 Kontsevich 积分的任务非常困难。通用 Vassiliev 不变量 I(K) 的显式表达式目前仅对单结已知，

I(O)=exp(sum_(n=0)^(infty)b_(2n)w_(2n))
(4)
=1+(sum_(n=0)^(infty)b_(2n)w_(2n))+1/2(sum_(n=0)^(infty)b_(2n)w_(2n))^2+....
(5)

(Bar-Natan 等人 1995)。这里，b_(2n) 是修正的伯努利数，即 泰勒级数 的系数

sum_(n=0)^inftyb_(2n)x^(2n)=1/2ln((e^(x/2)-e^(-x/2))/(1/2x))
(6)

(b_2=1/48, b_4=-1/5760, ...; OEIS A057868)，w_(2n) 是轮子，即形式的图

KontsevichWheels

线性组合被理解为 汉字代数 B 的一个元素，它与 弦图代数 A 同构。用弦图表示，这个系列的开头如下所示

KontsevichSeries

Kontsevich 积分由 Kontsevich (1993) 发明，详细的阐述可以在 Arnol'd (1994)、Bar-Natan (1995) 以及 Chmutov 和 Duzhin (2000) 中找到。

另请参阅

弦图, Gauss 积分, Morse 结, Vassiliev 不变量

此条目由 Sergei Duzhin 贡献

此条目由 Sergei Chmutov 贡献

使用 探索

参考文献

Arnol'd, V. I. "Vassiliev 判别式和纽结理论。" 收录于 第一届欧洲数学大会，第 1 卷（巴黎，1992 年） (A. Joseph, F. Mignot, F. Murat, B. Prum 和 R. Rentschler 编辑)。瑞士巴塞尔：Birkhäuser，第 3-29 页，1994 年。Bar-Natan, D. "关于 Vassiliev 纽结不变量。" Topology 34, 423-472, 1995.Bar-Natan, D.; Garoufalidis, S.; Rozansky, L.; 和 Thurston, D. "单结的轮子、轮转和 Kontsevich 积分。" Israel J. Math. 119, 217-237, 2000.Chmutov, S. V. 和 Duzhin, S. V. "Kontsevich 积分。" Acta Appl. Math. 66, 155-190, 2000.Kontsevich, M. "Vassiliev 纽结不变量。" Adv. Soviet Math. 16, 第 2 部分，137-150, 1993.Le, T. Q. T. 和 Murakami, J. "框架有向链环的通用 Vassiliev-Kontsevich 不变量。" Compos. Math. 102, 42-64, 1996.Sloane, N. J. A. 整数序列在线百科全书中的序列 A057868。"Vassiliev, V. A. "纽结空间的上同调。" 收录于 奇点理论及其应用 (V. I. Arnold 编辑)。Adv. Soviet Math. 1, 23-69, 1990.

在 上引用

Kontsevich 积分

请引用为

Chmutov, Sergei 和 Duzhin, Sergei。"Kontsevich 积分。" 来自 Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。https://mathworld.net.cn/KontsevichIntegral.html

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