散度定理

散度定理，尤其在较早的文献中更常被称为高斯定理（例如，Arfken 1985），也称为高斯-奥斯特洛格拉德斯基定理，是向量微积分中的一个定理，可以表述如下。设 是空间中的一个区域，边界为 。那么 体积积分 的 散度 在 上的积分和 曲面积分 的 在 边界上的积分，通过下式相关联：

(1)

散度定理是物质守恒物理事实的数学表述，即在没有物质产生或破坏的情况下，空间区域内的密度变化只能通过物质流入或流出其边界来实现。

散度定理的一个特例是通过专门化到平面得到的。设 为平面上的一个区域，边界为 ，则方程 (1) 简化为

(2)

如果 向量场 满足某些约束，则可以使用简化的形式。例如，如果 其中 是一个常向量 ，那么

(3)

但是

(4)

所以

			(5)
			(6)

和

(7)

但是 ，并且 必须随 变化，因此 不能总是等于零。因此，

(8)

类似地，如果 ，其中 是一个常向量 ，那么

(9)