德拉姆上同调

德拉姆上同调是针对解析问题的形式化设置：如果你有一个微分k形式 在一个流形 上，它是否是另一个微分k形式 的外微分？形式上，如果 那么 。这更常被表述为 ，意思是如果 要成为微分k形式的外微分，那么 必须满足的必要条件是它的外微分为零。

德拉姆上同调提供了一种形式化方法，旨在回答这个问题：“流形上外微分为零的所有微分形式是否都是 (k-1) 形式的外微分？” 特别是，第 阶德拉姆上同调向量空间被定义为外微分为 0 的所有 形式的空间，模 (k-1) 形式的所有边界的空间。当且仅当对我们问题的答案为“是”时，这是平凡向量空间 当且仅当。

关于德拉姆上同调的基本结果是，它是流形的拓扑不变量，即：流形 的第 阶德拉姆上同调向量空间与 Alexander-Spanier 上同调向量空间 （也称为紧支上同调）规范同构。在 是紧致的情况下，Alexander-Spanier 上同调恰好是奇异上同调。