无忧伴侣

将“无忧伴侣”定义为一对正整数 ，使得 和 是互质的（即 ），并且 是无平方数的。类似地，将“强无忧伴侣”定义为一对 ，使得 且 和 均为无平方数；而“弱无忧伴侣”则定义为一对 ，使得 且 和 中至少一个为无平方数。

设 、、 和 分别为无平方数对、无忧伴侣、强无忧伴侣和弱无平方数伴侣的数量，其中 ，如上所示。

无平方数对 对于 , 2, ... 的数量为 1, 3, 7, 11, 19, 23, 35, 43, 55, ... (OEIS A018805)，其具有闭合形式

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			(2)

其中 是欧拉函数求和函数， 是向下取整函数，并且 是莫比乌斯函数。

无忧伴侣 对于 , 2, ... 的数量为 1, 3, 7, 9, 16, 20, 31, 35, 39, ... (OEIS A118258)；强无忧伴侣 的数量为 1, 3, 7, 7, 13, 17, 27, 27, ... (OEIS A118259)；以及弱无忧伴侣 的数量为 1, 3, 7, 11, 19, 23, 35, 43, 51, ... (OEIS A118260)。

那么

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			(4)
			(5)
			(6)

其中，无忧常数和强无忧常数由下式给出

			(7)
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			(9)
			(10)
			(11)
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			(15)
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(OEIS A065464, A065473, 和 A118261; Moree 2005)，其中 是黎曼zeta函数。