西尔维斯特序列 -- 来自 Wolfram MathWorld

西尔维斯特序列

由和二次递推方程定义的序列

(1)

此序列出现在欧几里得证明存在无限个素数的证明中。该证明通过使用递推关系构造素数序列来推进

(2)

(Vardi 1991)。令人惊讶的是，存在一个常数

$E=1/2sqrt(6)exp{sum_(j=1)^infty2^(-j-1)ln[1+(2e_j-1)^(-2)]}=1.2640847353...$

(3)

(OEIS A076393) 使得

(4)

(Aho and Sloane 1973, Vardi 1991, Graham et al. 1994)。西尔维斯特序列中的前几个数字是 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, ... (OEIS A000058)。满足

(5)

此外，如果是一个无理数，那么用于表示的单位分数无穷和的第项，当使用贪婪算法计算时，必须小于。

前几个素数的是 0, 1, 2, 3, 5, ...，对应于 2, 3, 7, 43, 3263443, ... (OEIS A014546)。Vardi (1991) 给出了小于的因子列表，对于，并表明对于，是合数。此外，西尔维斯特序列中小于的所有数字都是无平方数，并且在该序列中没有已知的平方数 (Vardi 1991)。

亦见

卡亨常数, 欧几里得定理, 贪婪算法, 二次递推方程, 无平方数, 平方数

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更多尝试

参考文献

Aho, A. V. and Sloane, N. J. A. "Some Doubly Exponential Sequences." Fib. Quart. 11, 429-437, 1973.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Research problem 4.65 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A000058/M0865, A014546, and A076393 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Finch, S. R. "Quadratic Recurrence Constants." §6.10 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 443-448, 2003.Vardi, I. "Are All Euclid Numbers Squarefree?" and "PowerMod to the Rescue." §5.1 and 5.2 in Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 82-89, 1991.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

西尔维斯特序列

请引用为

Weisstein, Eric W. "西尔维斯特序列。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SylvestersSequence.html

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