卡迈克尔数

卡迈克尔数是一个奇 合数 ，它满足费马小定理

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对于 每个 满足 (即， 和 是互素的) 的选择，且满足 。因此，卡迈克尔数是任何基的伪素数。因此，使用费马小定理无法发现卡迈克尔数是合数。然而，如果 ，则费马小定理的同余式非零，从而将卡迈克尔数 识别为合数。

卡迈克尔数有时被称为“绝对伪素数”，并且也满足Korselt判据。R. D. Carmichael 在 1910 年首次注意到此类数字的存在，计算了 15 个例子，并推测存在无限多个。1956 年，Erdős 概述了一种构造大型卡迈克尔数的技术（Hoffman 1998, p. 183），Alford等人给出了证明。(1994)。

Lehmer totient问题的任何解都必须是卡迈克尔数。

前几个卡迈克尔数是 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, ... (OEIS A002997)。小于 , , ... 的卡迈克尔数的数量是 0, 1, 7, 16, 43, 105, ... (OEIS A055553; Pinch 1993)。具有 3, 4, ... 个因子的最小卡迈克尔数是 , , 825265, 321197185, ... (OEIS A006931)。

卡迈克尔数至少有三个素因子。对于恰好有三个素因子的卡迈克尔数，一旦指定了一个素数，则只能构造有限数量的卡迈克尔数。实际上，对于有 个素因子的卡迈克尔数，只有有限个最小的 被指定。

形如 的数，如果每个因子都是素数，则为卡迈克尔数 (Korselt 1899, Ore 1988, Guy 1994)。可以看出，因为对于

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是 的倍数，并且 、 和 的最小公倍数是 ，所以 模每个素数 、 和 ，因此 模它们的乘积。前几个这样的卡迈克尔数对应于 , 6, 35, 45, 51, 55, 56, ... (OEIS A046025)，并且是 1729, 294409, 56052361, 118901521, ... (OEIS A033502)。

设 表示小于 的卡迈克尔数的数量。那么，对于所有足够大的 ，

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(Alford等人 1994)，这证明了存在无限多个卡迈克尔数。上限

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也已得到证明 (R. G. E. Pinch)。

卡迈克尔数具有以下性质

1. 如果素数 整除卡迈克尔数 ，则 意味着 。

2. 每个卡迈克尔数都是无平方因子数。

3. 奇合数无平方因子数 是卡迈克尔数，当且仅当 整除分母 伯努利数 。

已知因子数最多的卡迈克尔数总结在下表中（从 Dubner 1989, 1998 更新）。