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莫比乌斯函数

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MobiusFunction

莫比乌斯函数是一个由下式定义的数论函数

mu(n)={0 if n has one or more repeated prime factors; 1 if n=1; (-1)^k if n is a product of k distinct primes,
(1)

因此 mu(n)!=0 表示 n 是 无平方数 (Havil 2003, p. 208)。 mu(n) 的前几个值因此是 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, ... (OEIS A008683)。 类似地，|mu(n)| 对于 n=1, 2, ... 的前几个值是 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, ... (OEIS A008966)。

这个函数由 Möbius (1832) 引入，符号 mu(n) 最初由 Mertens (1874) 使用。 然而，高斯在 Möbius 之前 30 多年就考虑了莫比乌斯函数，他写道：“所有 原根 [对于素数 p] 的和要么是 =0 (当 p-1 可被平方数整除时)，要么是 =+/-1 (mod p) (当 p-1 是不同素数的乘积时；如果这些素数的数量是偶数，则符号为正，但如果数量是奇数，则符号为负)” (Gauss 1801, Pegg 2003)。

莫比乌斯函数在 Wolfram 语言 中实现为MoebiusMu[n]。

莫比乌斯函数的求和函数

M(x)=sum_(n<=x)mu(n)
(2)

称为 梅滕斯函数。

MoebiusMuDensityPlot

下表给出了 n 对于 mu(n)=-1、0 和 1 的前几个值。 前 10^4 个整数的值在上面的 100×100 网格上绘制，其中 n 的值为 mu(n)=-1 的显示为红色，mu(n)=0 的显示为黑色，mu(n)=1 的显示为蓝色。 当数字的倍数各自共享一个或多个重复因子时，会出现清晰的模式。

mu(n)OEISn 的值
-1A0300592, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, ...
0A0139294, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, ...
1A0302291, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, ...

莫比乌斯函数具有生成函数

sum_(n=1)^infty(mu(n))/(n^s)=1/(zeta(s))
(3)

对于 R[s]>1 (Nagell 1951, p. 130)。 这个乘积是通过取 欧拉乘积 的倒数并展开各项得到的

1/(zeta(s))=product_(k=1)^(infty)(1-1/(p_k^s))
(4)
=(1-1/(p_1^s))(1-1/(p_2^s))(1-1/(p_3^s))...
(5)
=1-(1/(p_1^s)+1/(p_2^s)+1/(p_3^s)+...)+(1/(p_1^sp_2^s)+1/(p_1^sp_3^s)+...+1/(p_2^sp_3^s)+1/(p_2^sp_4^s)+...)-...
(6)
=1-sum_(0<i)1/(p_i^s)+sum_(0<i<j)1/(p_i^sp_j^s)-sum_(0<i<j<k)1/(p_i^sp_j^sp_k^s)+...
(7)
=sum_(n=1)^(infty)(mu(n))/(n^s)
(8)

(Derbyshire 2004, pp. 245-249)。

另一个生成函数由下式给出

sum_(n=1)^infty(mu(n)x^n)/(1-x^n)=x
(9)

对于 |x|<1。 它也服从无穷和

sum_(n=1)^(infty)(mu(n))/n=0
(10)
sum_(n=1)^(infty)(mu(n)lnn)/n=-1
(11)
sum_(n=1)^(infty)(|mu(n)|)/(n^2)=(15)/(pi^2)=1.51981775...
(12)
sum_(n=1)^(infty)(chi_({n:mu(n)=-1}))/(n^2)=9/(2pi^2)=0.45594532...
(13)
sum_(n=1)^(infty)(chi_({n:mu(n)=1}))/(n^2)=(21)/(2pi^2)=1.06387242...
(14)

(OEIS A082020, A088245, 和 A088245; Havil 2003, p. 208)，以及除数和

sum_(d|n)|mu(d)|=2^(omega(n)),
(15)

其中 omega(n) 是 n 的不同素因子的数量 (Hardy and Wright 1979, p. 235)。

mu(n) 也满足无穷乘积

product_(n=1)^infty(1-x^n)^(mu(n)/n)=e^(-x)
(16)

对于 |x|<1 (Bellman 1943; Buck 1944;, Pólya and Szegö 1976, p. 126; Robbins 1999)。 方程 (◇) 与 素数定理 一样“深刻” (Landau 1909, pp. 567-574; Landau 1911; Hardy 1999, p. 24)。

莫比乌斯函数是积性函数，

mu(mn)={mu(m)mu(n) if (m,n)=1; 0 if (m,n)>1,
(17)

并满足

sum_(d|n)mu(d)=delta_(n1),
(18)

其中 delta_(ij) 是 克罗内克δ，以及

sum_(d)mu(d)sigma_0(n/d)=1,
(19)

其中 sigma_0(n) 是除数的数量 (即，零阶除数函数；Nagell 1951, p. 281)。

参见

布劳恩猜想, 狄利克雷生成函数, 梅滕斯函数, 莫比乌斯反演公式, 莫比乌斯周期函数, 莫比乌斯变换, 素数 Zeta 函数, 黎曼函数, 无平方数

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/MoebiusMu/

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "The Möbius Function." §24.3.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 826, 1972.Bellman, R. "Problem 4072." Amer. Math. Monthly 50, 124-125, 1943.Buck, R. C. "Solution to Problem 4072." Amer. Math. Monthly 51, 410, 1944.Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, pp. 245-250, 2004.Gauss, C. F. §81 in Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig, Germany, 1801. Translated by A. A. Clarke. New Haven, CT: Yale University Press, 1965.Hardy, G. H. "A Note on the Möbius Function." §4.9 in Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, pp. 64-65, 1999.Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford: Clarendon Press, p. 236, 1979.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Landau, E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Leipzig, Germany: Teubner, 1909.Landau, E. Prac. Matematyczno-Fizycznych 21, 97-177, 1910.Landau, E. Wiener Sitzungsber. 120, 973-988, 1911.Mertens, F. "Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie." J. reine angew. Math. 77, 46-62, 1874.Miller, J. "Earliest Uses of Symbols of Number Theory." http://members.aol.com/jeff570/nth.html.Möbius, A. F. "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen." J. reine angew. Math. 9, 105-123, 1832.Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, p. 27, 1951.Pegg, E. Jr. "Math Games: The Möbius Function (and Squarefree Numbers)." Nov. 3, 2003. http://www.maa.org/editorial/mathgames_11_03_03.html.Pólya, G. and Szegö, G. Problems and Theorems in Analysis, Vol. 2. New York: Springer-Verlag, 1976.Robbins, N. "Some Identities Connecting Partition Functions to Other Number Theoretic Functions." Rocky Mtn. J. Math. 29, 335-345, 1999.Rota, G.-C. "On the Foundations of Combinatorial Theory I. Theory of Möbius Functions." Z. für Wahrscheinlichkeitsth. 2, 340-368, 1964.Séroul, R. "The Moebius Function." §2.12 and 8.5 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 19-21 and 167-169, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A008683, A008966, A013929, A030059, A030229, A082020, A88245, and A88246 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Redwood City, CA: Addison-Wesley, pp. 7-8 and 223-225, 1991.Wilf, H. Generatingfunctionology, 2nd ed. New York: Academic Press, p. 61, 1994.

在 上被引用

莫比乌斯函数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "莫比乌斯函数。" 来自 --一个 资源。 https://mathworld.net.cn/MoebiusFunction.html

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