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梅尔滕斯猜想

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MertensConjecture

给定由下式定义的 梅尔滕斯函数

M(n)=sum_(k=1)^nmu(k),
(1)

其中 mu(n) 是 莫比乌斯函数，斯蒂尔杰斯在 1885 年给埃尔米特的信中声称 M(x)x^(-1/2) 保持在两个固定的界限内，他认为这两个界限可能可以取为 +/-1 (Havil 2003, p. 208)。同年，斯蒂尔杰斯 (1885) 声称他有一个一般结果的证明。然而，斯蒂尔杰斯在这个主张中似乎是错误的（Derbyshire 2004, pp. 160-161）。梅尔滕斯 (1897) 随后发表了一篇论文，根据对 M(10^4) 的计算，他认为斯蒂尔杰斯的主张

|M(x)|<x^(1/2)
(2)

对于 x>1 是“非常有可能的”。

梅尔滕斯猜想具有重要的意义，因为任何等式 形式 的真理

|M(n)|<=cn^(1/2)
(3)

对于任何固定的 c （梅尔滕斯猜想的形式为 c=1）将意味着 黎曼猜想。事实上，声明

M(n)=O(n^(1/2+epsilon))
(4)

对于任何 epsilon<1/2 等价于 黎曼猜想 (Derbyshire 2004, p. 251)。

梅尔滕斯 (1897) 验证了 n<10000 的猜想，冯·斯特内克 (1912; Deléglise and Rivat 1996) 随后将其扩展到 n<500000。奥德利兹科和特·里勒 (1985) 证明了梅尔滕斯猜想是错误的。他们的证明是间接的，没有产生具体的反例，但它表明

limsup_(n->infty)M(n)n^(-1/2)>1.06
(5)
liminf_(n->infty)M(n)n^(-1/2)<-1.009
(6)

(Havil 2003, p. 209)。奥德利兹科和特·里勒 (1985) 认为，对于 n<=10^(20) 甚至 10^(30)，梅尔滕斯猜想都没有反例，这使得斯蒂尔杰斯所谓的证明受到了非常强烈的质疑（Derbyshire 2004, p. 161）。

平茨 (1987) 随后表明，至少有一个对该猜想的反例发生在 n<exp(3.21×10^(64)) 时 (Havil 2003, p. 209)，使用 M(x)/x 的加权积分平均值和涉及 黎曼 zeta 函数 的非平凡零点的离散和。仍然不知道 n 的哪个值首次使 |M(n)|>sqrt(n) 成立，但已知它超过 10^(14) (te Riele 2006)，改进了之前 10^(13) (Lioen and van de Lune 1994) 和 10^(12) (Dress 1993; Deléglise and Rivat 1996) 的最佳结果。

目前仍不清楚是否

limsup_(n->infty)|M(n)|n^(-1/2)=infty,
(7)

虽然这似乎非常有可能 (Odlyzko and te Riele 1985)。

另请参阅

梅尔滕斯函数, 莫比乌斯函数, 黎曼猜想

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参考文献

Anderson, R. J. "On the Mertens Conjecture for Cusp Forms." Mathematika 26, 236-249, 1979.Anderson, R. J. "Corrigendum: 'On the Mertens Conjecture for Cusp Forms.' " Mathematika 27, 261, 1980.Deléglise, M. and Rivat, J. "Computing the Summation of the Möbius Function." Experiment. Math. 5, 291-295, 1996.Derbyshire, J. 素数 Obsession：Bernhard Riemann 和数学中最伟大的未解问题。 New York: Penguin, 2004.Devlin, K. "The Mertens Conjecture." Irish Math. Soc. Bull. 17, 29-43, 1986.Dress, F. "Fonction sommatoire de la fonction de Möbius; 1. Majorations expérimentales." Experiment. Math. 2, 93-102, 1993.Grupp, F. "On the Mertens Conjecture for Cusp Forms." Mathematika 29, 213-226, 1982.Hardy, G. H. 拉马努金：关于他的生活和工作提出的主题的十二次讲座，第 3 版。 New York: Chelsea, p. 64, 1999.Havil, J. Gamma：探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Jurkat, W. and Peyerimhoff, A. "A Constructive Approach to Kronecker Approximation and Its Application to the Mertens Conjecture." J. reine angew. Math. 286/287, 322-340, 1976.Lehman, R. S. "On Liouville's Functions." Math. Comput. 14, 311-320, 1960.Lioen, W. M. and van de Lune, J. "Systematic Computations on Mertens' Conjecture and Dirichlet's Divisor Problem by Vectorized Sieving." In 从通用态射到兆字节：Baayen 空间奥德赛。在 P. C. Baayen 退休之际 (Ed. K. Apt, L. Schrijver, and N. Temme). Amsterdam, Netherlands: Stichting Mathematisch Centrum, Centrum voor Wiskunde en Informatica, pp. 421-432, 1994. http://walter.lioen.com/papers/LL94.pdf.Mertens, F. "Über eine zahlentheoretische Funktion." Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien IIa 106, 761-830, 1897.Odlyzko, A. M. and te Riele, H. J. J. "Disproof of the Mertens Conjecture." J. reine angew. Math. 357, 138-160, 1985.Pintz, J. "An Effective Disproof of the Mertens Conjecture." Astérique 147-148, 325-333 and 346, 1987.Stieltjes, T. C. R. A. S. 1885.te Riele, H. J. J. "Some Historical and Other Notes About the Mertens Conjecture and Its Recent Disproof." Nieuw Arch. Wisk. 3, 237-243, 1985.te Riele, H. R. "The Mertens Conjecture Revisited." 7th Algorithmic Number Theory Symposium. Technische Universität Berlin, 23-28 July 2006. http://www.math.tu-berlin.de/~kant/ants/Proceedings/te_riele/te_riele_talk.pdf.von Sterneck, R. D. "Die zahlentheoretische Funktion sigma(n) bis zur Grenze 500000." Akad. Wiss. Wien Math.-Natur. Kl. Sitzungsber. IIa 121, 1083-1096, 1912.

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. “梅尔滕斯猜想。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MertensConjecture.html

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