圆周率的简单连分数表示为 [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, ...] (OEIS A001203)。上方显示了以二进制位序列表示的连分数的前 256 项的图。
前几个收敛项是 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215, ... (OEIS A002485 和 A002486)，它们分别精确到 0, 2, 4, 6, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 13, ... (OEIS A114526) 位十进制数字。
非常大的项 292 意味着收敛项
![[3;7,15,1]=[3,7,16]=(355)/(113)=3.14159292...](/images/equations/PiContinuedFraction/NumberedEquation1.svg) |
(1)
|
是一个非常好的近似值，精确到小数点后六位，最早由天文学家祖冲之在公元五世纪发现 (Gardner 1966, pp. 91-102)。一个关于
的第三个收敛项的优美表达式由下式给出
![pi approx 2[1;1,1,3,32]=(355)/(113) approx 3.14159292...](/images/equations/PiContinuedFraction/NumberedEquation2.svg) |
(2)
|
(Stoschek)。
的Engel 展开式为 1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ... (OEIS A006784)。
下表总结了一些关于圆周率连分数的记录计算。
| 项数 | 日期 | 参考文献 |
 | 1977 | W. Gosper (Gosper 1977, Ball and Coxeter 1987) |
 | 1999 年 6 月 | H. Havermann (Plouffe) |
 | 2002 年 3 月 | H. Havermann (Bickford) |
 | 2010 年 10 月 | N. Bickford (Bickford 2010, Wolfram Blog Team 2011) |
 | 2010 年 12 月 | E. W. Weisstein |
 | 2011 年 9 月 16 日 | E. W. Weisstein |
 | 2011 年 9 月 17 日 | E. W. Weisstein |
 | 2011 年 9 月 18 日 | E. W. Weisstein |
 | 2013 年 7 月 18 日 | E. W. Weisstein |
 | 2013 年 7 月 27 日 | E. W. Weisstein |
在连分数中，首次出现 
, 2, ... 的位置分别是 3, 8, 0, 29, 39, 31, 1, 43, 129, 99, ... (OEIS A225802)。在首个 
项中未出现的最小整数是 49004, 50471, 53486, 56315, ... (E. Weisstein, 2013 年 7 月 27 日)。连分数中递增项的序列是 3, 7, 15, 292, 436, 20776, 78629, 179136, 528210, 12996958, 878783625, 5408240597, 5916686112, 9448623833, ... (OEIS A033089)，它们出现在位置 1, 2, 3, 5, 308, 432, 28422, 156382, 267314, 453294, 11504931 ... (OEIS A033090)。
设 
的连分数表示为 ![[a_0;a_1,a_2,...]](/images/equations/PiContinuedFraction/Inline16.svg)
，并设收敛项的分母表示为 
, 
, ..., 
。那么上面的图显示了 
, 
, 
的连续值，它们似乎收敛到 Khinchin 常数（左图）和 
，它们似乎收敛到 Lévy 常数（右图），尽管这些极限都没有得到严格的证明。
下表给出了 
位数项在 
的连分数中首次出现的情况，其中将 3 视为第 0 项（例如，Choong 等人 1971，Beeler 等人 1972）。
 | OEIS | 项/位置 |
| 1 | A048292 | 3, 7, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 2, ... |
| A048293 | 0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, ... | |
| 2 | A048294 | 15, 14, 84, 15, 13, 99, 12, 16, 45, 22, ... |
| A048955 | 2, 12, 21, 25, 27, 33, 54, 77, 80, 82, ... | |
| 3 | A048956 | 292, 161, 120, 127, 436, 106, 141, ... |
| A048957 | 4, 79, 196, 222, 307, 601, 669, 725, ... | |
| 4 | A048958 | 1722, 2159, 8277, 1431, 1282, 2050, ... |
| A048959 | 3273, 3777, 3811, 4019, 4700, 6209, ... | |
| 5 | A048960 | 20776, 19055, 19308, 78629, 17538, ... |
| A048961 | 431, 15543, 23398, 28421, 51839, ... | |
| 6 | 179136, 528210, 104293, 196030, ... | |
| 156381, 267313, 294467, 513205, ... | ||
| 7 | 8093211, 1811791, 3578547, 4506503, ... | |
| 1118727, 2782369, 2899883, 3014261, ... | ||
| 8 | 12996958 ,19626118, 12051Q034, 13435395, ... | |
| 453293, 27741604, 46924606, 50964645, ... | ||
| 9 | 878783625, 317579569, ... | |
| 11504930, 74130513, ... |
的简单连分数没有显示出任何明显的模式，但在优美的非简单连分数中，清晰的模式确实出现了
 |
(3)
|
(Brouncker)，给出收敛项 1, 3/2, 15/13, 105/76, 315/263, ... (OEIS A025547 和 A007509) 以及
 |
(4)
|
(Stern 1833)，给出收敛项 1, 2/3, 4/3, 16/15, 64/45, 128/105, ... (OEIS A001901 和 A046126)。
and the Derived Decimal Approximation. Stanford, CA: Artificial Intelligence Laboratory, Stanford University, Oct. 1975. Reviewed in Math. Comput. 31, 1044, 1977.Havermann, H. "Simple Continued Fraction Expansion of Pi." 
." Monatsh. für Math. 67, 311-316, 1963.Sloane, N. J. A. Sequences