洛必达法则

令 lim 代表 极限 , , , , 或 , 假设 lim 和 lim 均为 零 或均为 。如果

(1)

具有有限值，或者如果极限为 ，则

(2)

从历史上看，这个结果首次出现在洛必达 1696 年的专著中，那是第一本关于微分 calculus 的教科书。在书中，洛必达感谢伯努利兄弟的协助和他们的发现。约翰·伯努利早期的信件给出了规则及其证明，因此伯努利很可能发现了这个规则（Larson 等人，1999 年，第 524 页）。

请注意，洛必达的名字通常有两种拼写方式：“l'Hospital”（例如，Maurer 1981 年，第 426 页；Arfken 1985 年，第 310 页）和 “l'Hôpital”（例如，Maurer 1981 年，第 426 页；Gray 1997 年，第 529 页），两者在法语拼写中是等效的。

洛必达法则偶尔会无法产生有用的结果，如函数 的情况所示。 在这种情况下重复应用该规则会得到振荡且永不收敛的表达式，

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)

实际极限是 1。

有时必须谨慎应用洛必达法则，因为它仅在隐式理解的情况下成立，即 在 附近的邻域内不会无限次地改变符号。例如，考虑极限 ，其中

			(8)
			(9)

当 时。虽然 和 都当 时趋于 ，但比率的极限在区间 内有界，而 的极限趋于 0 (Boas 1986)。

另一个类似的例子是极限 ，其中

			(10)
			(11)

当 时。虽然 和 都当 时趋于 0，但比率的极限为 0，而极限 在实数线上是无界的 (Wilf 1966, Rickert 1968)。