Epsilon-Delta 定义

Epsilon-delta 定义是一种数学定义，其中关于一个实函数的陈述，例如，形式为“对于邻域 的 都存在 的 邻域 使得，只要 , 则 ”被改写为“对于所有 都存在 使得，只要 , 则 。” 这两个陈述是极限定义的等价表述 ()。 在第二个表述中，邻域 被开区间 替换，邻域 被开区间 替换。 对于 个变量的函数，绝对值将被 的 范数 替换，开区间将分别被开球 和 替换。

这不会影响陈述的含义，因为给定点的每个邻域都包含以该点为中心的开球。 因此，要求对于任何 , 对于合适的 x 值， 在 中，确保对于合适的 值，对于 的任何邻域 , 在 中。 根据定义的两个版本，这些合适的 值是属于合适邻域（在第二个版本中是开球）的值。

这两个陈述都表达了这样一个事实：对于所有足够接近 的 , 都尽可能接近所需的 。 在第二种表述中，这个条件完全用数字表示： 和 是衡量“接近程度”的距离。 这有助于证明极限的任务，因为基本公式实际上是通过为每个 构建具有所需属性的 来展示的。