Kähler 恒等式

是在 Kähler 流形上成立的恒等式的集合，也称为 Hodge 恒等式。令 为 Kähler 形式， 为 外微分，其中 是 del bar 算子， 为两个微分算子的交换子， 表示 的形式伴随。以下算子也作用于 微分形式 在 Kähler 流形上

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其中 是近复结构，，并且 表示内积。那么

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此外，

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这些恒等式有许多含义。例如，以下两个算子

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和

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（之所以称为拉普拉斯算子是因为它们是椭圆算子）满足 。此时，假设 也是一个 紧流形。结合 Hodge 定理，拉普拉斯算子的这个等式证明了 Hodge 分解。算子 和 与这些拉普拉斯算子交换。根据 Hodge 定理，它们作用于上同调，上同调由 调和形式 表示。此外，定义

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其中 是到 -Dolbeault 上同调的投影，它们满足

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换句话说，这些算子在紧 Kähler 流形的复上同调上提供了 特殊线性李代数 的群表示。实际上，这就是 hard Lefschetz 定理的内容。