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内切椭圆

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内切椭圆是一个内切圆锥曲线，它是一个椭圆。

内切于三角形的椭圆的中心轨迹是中点三角形的内部。 牛顿给出了在凸四边形中内切椭圆的解法（Dörrie 1965, p. 217）。

中心具有面积坐标 (t,u,v) 的内切椭圆的面积，内切于三角形为

A=pisqrt((1-2t)(1-2u)(1-2v))Delta,
(1)

其中 Delta 是参考三角形的面积（Chakerian 1979, pp. 143 和 148），这对应于中心具有精确三线坐标 alpha:beta:gamma 的内切椭圆，面积为

A=pisqrt((1-(aalpha)/Delta)(1-(bbeta)/Delta)(1-(cgamma)/Delta))Delta
(2)
=pisqrt(Delta(Delta-aalpha)(Delta-bbeta)(Delta-cgamma)).
(3)

用内切圆锥曲线参数 x:y:z 表示，公式甚至更简单，

A=piabcsqrt((xyz)/((bcx+acy+abz)^3))Delta
(4)

（E. W. 韦斯坦因，12 月 4 日，2005 年）。

下表总结了一些特殊内切椭圆的面积。

内切椭圆中心面积
布罗卡内切椭圆X_(39)(pia^2b^2c^2)/((a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^(3/2))Delta
霍夫斯塔德椭圆，其中 r=1/2X_(37)(piabc)/((ab+bc+ca)^(3/2))Delta
内切圆X_1(4piDelta^2)/((a+b+c)^2)
勒穆瓦纳内切椭圆X_(597)(pisqrt((2a^2+2b^2-c^2)(2b^2+2c^2-a^2)(2c^2+2a^2-b^2)))/(3sqrt(3)(a^2+b^2+c^2)^(3/2))Delta
麦克比思内切圆锥曲线X_5(a^2b^2c^2pisqrt(cosAcosBcosC))/(16sqrt(2)Delta^2)
曼达特内切椭圆X_9(16piDelta^3)/((a+b+c)[2ab+2bc+2ca-(a^2+b^2+c^2)]^(3/2))
垂心内切圆锥曲线X_6(2pisqrt(2)abcsqrt(cosAcosBcosC))/((a^2+b^2+c^2)^(3/2))Delta
斯坦纳内切椭圆X_2pi/(3sqrt(3))Delta

内切于四边形的椭圆的中心都位于连接多边形对角线中点的直线段上（Chakerian 1979, pp. 136-139）。

另请参见

布罗卡内切椭圆, 外切椭圆, 霍夫斯塔德椭圆, 内切圆, 勒穆瓦纳内切椭圆, 曼达特内切椭圆, 麦克比思内切圆锥曲线, 垂心内切圆锥曲线, 斯坦纳内切椭圆

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参考文献

Chakerian, G. D. "几何的扭曲视角。" Ch. 7 in 数学梅花 (Ed. R. Honsberger). 华盛顿特区：美国数学协会，1979 年。Dörrie, H. 初等数学的 100 个伟大问题：历史和解答。 纽约：多佛出版社，1965 年。

在 Wolfram|Alpha 上引用

内切椭圆

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "内切椭圆。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Inellipse.html

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