二十面体星状体

将星状化过程应用于正二十面体会得到

10 种不同形状和大小的胞（Wenninger 1989，第 41 页）。

应用被称为米勒规则的五个限制来定义哪些形式应被认为是重要的和独特的（Coxeter et al. 1999，第 15-16 页）之后，共有 59 种星状体（包括原始正二十面体本身）是可能的（Coxeter et al. 1999）。上面展示的这些星状体按照 Maeder (1994) 的原始顺序给出。

59 种星状体中有 18 种是完全支撑的。其中，16 种是可反射的，2 种是手性的 (Webb)。

在 59 种二十面体星状体中，32 种具有完整的二十面体对称性，27 种是对映异构体形式（Coxeter et al. 1999，第 64-65 页）。其中一个是柏拉图立体（二十面体本身），一个是开普勒-泊松多面体，四个是多面体复合体，一个是对偶多面体，是阿基米德立体的对偶多面体。请注意，第一个真正的星状体（Coxeter 计数中的星状体 #2）是通过累积二十面体直到每个三角锥的面平行于周围的原始面而获得的。这会产生相当小的尖刺，并形成一种称为小三方二十面体的立体。另请注意，大星形十二面体不是二十面体星状体，因为其五组三角锥的面不在同一平面上（即使它们看起来非常接近）。

上面展示了原始二十面体、其 20 个面平面以及这些平面与“顶部”面平面的交线。

上面展示了星状化图，显示了一个面与 18 个其他非平行面的 18 条交线，以及这些交线将平面划分成的区域（Coxeter et al. 1999，第 17 页）。

通过将 同时用于 2 和 ， 用于 4 和 ， 用于 11 和 ，以及 用于 13、 和 的所有编号，可以简化区域的编号（Coxeter et al. 1999，第 18-19 页）。

下表（扩展了 Coxeter et al. 1999，第 13 页和 64-65 页）总结了许多作者使用的不同排序和符号。较新的 Maeder 编号（“星状二十面体”网页，“五十九个二十面体”演示）按递增的外接球半径 排序。Rogers（“玩转二十面体的星状体”演示）使用了 Coxeter et al. (1999) 的排序和 §3 符号。Coxeter 索引为 1-32 的星状体是双向手性的，而索引为 33-59 的星状体是以右旋形式列出的手性星状体。要获得左旋形式，请在“§2”和“§3”符号中将罗马字体更改为斜体，反之亦然（Coxeter et al. 1999，第 64-65 页）。

名称	Coxeter	Coxeter §2	Coxeter §3	Coxeter 图版	Coxeter 名称	Wenninger	Wenninger 名称	Wheeler	Brückner	Maeder	Maeder
正二十面体	1			I	二十面体	4		1		1	1
小三方二十面体	2			I	三角面二十面体	26	三角面二十面体	2	图 2，图版 VIII	2	2
八面体 5-复合体	3			I	五个八面体	23		3	图 6，图版 IX	3	3
	4			I				4	图 17，图版 IX	5	4
	5			II						16	9
	6			II		27	第 2 星状体	19		21	35
大二十面体	7			II	大二十面体	41	大二十面体	11	图 24，图版 XI	11	54
针鼹状多面体	8			III	完全星状体	42	最终星状体	12	图 14，图版 XI	4	59
	9			IV		37	第 12 星状体			6	7
	10			IV						30	14
	11			IV		29	第 4 星状体	21		10	24
	12			V						24	10
	13			V				20		26	20
	14			V						32	23
	15			VI						14	6
	16			VI				22		8	33
	17			VI						22	55
	18			VII						15	32
	19			VII						28	44
	20			VII		30	第 5 星状体			19	45
	21			VIII		32	第 7 星状体	10		7	8
四面体 10-复合体	22			VIII		25	十个四面体的复合体	8	图 3，图版 IX	18	12
	23			VIII		31	第 6 星状体	17	图 3，图版 X	23	39
	24			IX						27	11
	25			IX						29	21
向内增强的十二面体	26			IX				9	图 26，图版 VIII	20	22
	27			X		28	第 3 星状体	5		12	5
	28			X				18	图 20，图版 IX	17	34
	29			X		33	第 8 星状体	14		9	47
	30			XI		34	第 9 星状体	13		13	31
	31			XI						25	43
	32			XI						31	46
	33			XII		35	第 10 星状体			33	13
	34			XII		36	第 11 星状体			34	15
	35			XII						35	16
	36			XIII						39	25
	37			XIII		39	第 14 星状体			45	26
	38			XIII						47	27
	39			XIV						50	56
	40			XIV						54	57
	41			XIV						58	58
	42			XV						48	51
	43			XV						52	52
	44			XV						56	53
	45			XVI		40	第 15 星状体			42	19
	46			XVI						40	18
四面体 5-复合体（右旋）	47			XVI	五个四面体	24	五个四面体的复合体	7		36	17
四面体 5-复合体（左旋）								6	图 11，图版 IX
	48			XVII						57	30
	49			XVII						53	29
	50			XVII						49	28
	51			XVIII		38	第 13 星状体			43	38
	52			XVIII						41	37
（右旋）	53			XVIII				15		37	36
（左旋）								16
	54			XIX						59	42
	55			XIX						55	41
	56			XIX						51	40
	57			XX						46	50
	58			XX						44	49
	59			XX						38	48

Coxeter 星状体编号 30 () 对应于中三方二十面体和大三方二十面体的外壳（Wenninger 1983，第 45-50 页）。