双曲几何

一种 非欧几里得几何，也称为罗巴切夫斯基-波利亚伊-高斯几何，具有恒定的截面曲率 。这种几何满足欧几里得的所有公设，除了欧几里得公设除了平行公设，该公设被修改为：对于任何无限直线直线 和任何不在直线上的点 ，存在许多其他无限延伸的直线直线，这些直线穿过点 且不与相交 。

在双曲几何中，三角形的角之和小于 ，并且具有相同角度的三角形具有相同的面积。此外，并非所有三角形都具有相同的角和（参见欧几里得二维空间中三角形的 AAA 定理）。在双曲几何中没有相似三角形。双曲空间最著名的例子是洛伦兹四维空间中的球面。庞加莱双曲盘是一个双曲二维空间。双曲几何在二维中被很好地理解，但在三维中则不然。

双曲几何的几何模型包括 克莱因-贝尔特拉米模型，该模型由欧几里得平面中的一个开圆盘组成，其开弦对应于双曲线。二维模型是 庞加莱双曲盘。费利克斯·克莱因在 1870 年构建了解析双曲几何，其中点由一对实数 表示，其中

(1)

（即，复平面中开圆盘的点），并且两点之间的距离由下式给出

(2)

由此公式生成的几何满足欧几里得的所有欧几里得公设，除了第五公设。这种几何的度量由 凯莱-克莱因-希尔伯特度量给出，

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希尔伯特将定义扩展到欧几里得空间中的一般有界集。