1. 可以画一条直线段连接任意两点。
2. 任意直线段可以沿直线无限延伸。
3. 给定任意直线段，可以以该线段为半径，以其一个端点为圆心画一个圆。
5. 如果两条直线与第三条直线相交，使得一侧的内角之和小于两个直角，那么如果将这两条直线无限延伸，它们必然会在该侧相交。这个公设等价于所谓的平行公设。
欧几里得的第五公设不能被证明为定理，尽管许多人尝试过。欧几里得本人在前28个《几何原本》命题中只使用了前四个公设（“绝对几何”），但在第29个命题中不得不引用平行公设。1823年，亚诺什·波利亚伊和尼古拉·罗巴切夫斯基独立地意识到，可以创建完全自洽的“非欧几何”，其中平行公设不成立。（高斯也发现了非欧几何的存在，但压制了它。）
