庞加莱双曲盘

庞加莱双曲盘是一个具有双曲几何的二维空间，其定义为圆盘 ，并具有双曲度量

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庞加莱盘是双曲几何的一个模型，其中直线被表示为一个圆的弧，该圆的端点与圆盘的边界垂直（直径也是允许的）。两条不相交的弧对应于平行射线，正交相交的弧对应于垂直线，而在边界上相交的弧是一对极限射线。上面的插图展示了一个双曲镶嵌，类似于 M. C. 埃舍尔的Circle Limit IV (天堂与地狱) (Trott 1999, pp. 10 和 83)。

任何弧的端点都可以通过圆盘周围的两个角度 和 来指定。定义

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然后三角学表明，在上面的图中，

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因此，形成弧的圆的半径是 ，其中心位于 ，其中

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弧所对的半角为

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所以

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庞加莱双曲盘表示共形映射，因此可以直接测量射线之间的角度。同构存在于庞加莱盘模型和克莱因-贝尔特拉米模型之间。

2004 年Mathematical Intelligencer 杂志的封面上出现了一个使用“Poincaré disk”字样平铺庞加莱盘的图案，每个顶点周围有五个五边形 (Segerman and Dehaye 2004)。