克莱因-贝尔特拉米模型

双曲几何的克莱因-贝尔特拉米模型由欧几里得平面上的一个开圆盘组成，其开圆盘对应于双曲直线。如果两条直线 和 的弦不相交，并且在以下条件下垂直，则认为它们是平行的，

1. 如果直线 和 中至少有一条是圆盘的直径，则当且仅当它们在欧几里得意义下垂直时，它们是双曲垂直的当且仅当。

2. 如果两者都不是直径，则直线 垂直于直线 当且仅当延伸直线 的欧几里得直线穿过 的极点（定义为圆盘在 的“端点”处的切线的交点）。

庞加莱双曲圆盘模型和克莱因-贝尔特拉米模型之间存在同构。考虑欧几里得三维空间中的一个克莱因圆盘，其上方放置一个半径相同的球体，在原点处相切。 如果我们现在将圆盘上的弦正交向上投影到球体的下半球，它们将变成垂直于赤道的圆弧。 如果我们然后从北极将球体的下半球球极投影回克莱因圆盘的平面上，赤道将映射到一个比克莱因圆盘稍大的圆盘上，而原始克莱因圆盘的弦现在将是垂直于这个较大圆盘的圆弧。 也就是说，它们将是庞加莱直线。 现在我们可以说，两条克莱因直线或角是全等的当且仅当它们在此同构下对应的庞加莱直线和角在庞加莱模型的意义下是全等的。