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克劳森积分

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克劳森积分，有时也称为对数正弦积分（Borwein 和 Bailey 2003, p. 88）是 n=2 的 S_2 克劳森函数 的情况

Cl_2(theta)=-int_0^thetaln[2sin(1/2t)]dt
(1)
=i(1/6pi^2-1/4x^2)+x[ln(1-e^(ix))-ln2]-iLi_2(e^(ix))-xln[sin(1/2x)],
(2)

其中 Li_2(x) 是 双对数函数。

克劳森积分具有特殊值

Cl_2(1/2pi)=K,
(3)

其中 K 是 卡塔兰常数 (Borwein 和 Bailey 2003, p. 89)。其他恒等式包括

4Cl_2(1/3pi)=2Cl_2(2alpha)+Cl_2(pi+2alpha)-3Cl_2(5/3pi+2alpha)
(4)

其中 alpha=tan^(-1)(sqrt(3)/9),

6K=2Cl_2(2beta)-3Cl_2(2beta-1/2pi)+Cl_2(2beta+1/2pi)
(5)

其中 beta=tan^(-1)(1/3), 和

7/4sqrt(7)L_(-7)(2)=3Cl_2(gamma)-3Cl_2(2gamma)+Cl_2(3gamma)
(6)

其中 L_n(s) 是 狄利克雷 L 级数，并且 gamma=2tan^(-1)(sqrt(7)) (Borwein 和 Bailey 2003, pp. 89-90)。

BBP 型公式 包括

Cl_2(1/3pi)=sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)[1/((6k+1)^2)+1/((6k+2)^2)-1/((6k+4)^2)-1/((6k+5)^2)]
(7)
=(sqrt(3))/9sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(27^k)[(18)/((6k+1)^2)-(18)/((6k+2)^2)-(24)/((6k+3)^2)-6/((6k+4)^2)+2/((6k+5)^2)]
(8)

(Bailey 2000, Borwein 和 Bailey 2003, pp. 128-129)。

另请参阅

克劳森函数, 罗巴切夫斯基函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, pp. 1005-1006, 1972.Ashour, A. 和 Sabri, A. "函数 psi(theta)=sum_(n=1)^(infty)(sin(ntheta))/(n^2) 的制表。" Math. Tables Aids Comp. 10, 54 和 57-65, 1956.Bailey, D. H. "数学常数的 BBP 型公式汇编。" 2000 年 11 月 28 日。 http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf.Borwein, J. 和 Bailey, D. 实验数学：21 世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003.Clausen, R. "关于实分数函数的分解。" J. reine angew. Math. 8, 298-300, 1832.Lewin, L. "克劳森积分。" Ch. 4 in 双对数函数和相关函数。 London: Macdonald, pp. 91-105, 1958.Lewin, L. 多对数函数和相关函数。 New York: North-Holland, 1981.

在 Wolfram|Alpha 中引用

克劳森积分

引用为

Weisstein, Eric W. "克劳森积分。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ClausensIntegral.html

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