完全循环素数

一个 素数 ，其 具有最大周期 小数展开，周期为 数字。完全循环素数有时也称为长素数（Conway 和 Guy 1996，第 157-163 页和 166-171 页）。完全循环素数和 费马素数 之间存在着令人惊讶的联系。

一个素数 是完全循环的 当且仅当 10 是模 的 原根，这意味着

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对于 且没有小于此值的 。换句话说， (mod 10) 的 乘法阶 是 。例如，7 是一个完全循环素数，因为 。

完全循环素数有 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, ... (OEIS A001913)。这些数的前几个 小数展开 是

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这里，数字 142857, 5882352941176470, 526315789473684210, ... (OEIS A004042) 对应于这些小数展开的周期部分，被称为 循环数。目前还没有找到完全循环素数的通用方法。

小于 的完全循环素数的数量，对于 , 2, ... 分别是 1, 9, 60, 467, 3617, ... (OEIS A086018)。

一个 必要 (但不是 充分) 条件是 是完全循环素数，即数字 (其中 是一个 重复单位) 能被 整除，这等价于 能被 整除。例如，使得 能被 整除的 值由 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 37, ... (OEIS A104381) 给出。

阿廷推测，阿廷常数 (OEIS A005596) 是 素数 中， 具有最大小数周期的比例 (Conway 和 Guy 1996)。前几个分数包括高达 的素数，对于 , 2, ... 分别是 1/4, 9/25, 5/14, 467/1229, 3617/9592, 14750/39249, ... (OEIS A103362 和 A103363)，如上图所示，以及 的值。D. Lehmer 将此猜想推广到其他进制，得到的值是 的小有理倍数。