乘法阶

设 是一个有原根的正数。如果 是 的一个原根，那么数字 1, , , ..., 形成模 的一个简化剩余系，其中 是欧拉函数。在这个集合中，有 个原根，这些数字是 ，其中 与 互质。

使得 成立的最小指数 ，其中 和 是给定的数字，被称为 的乘法阶（有时也称为主指数或模阶）(mod )。

乘法阶在 Wolfram 语言中实现为MultiplicativeOrder[g, n].

具有乘法阶 的基数的数量是 ，其中 是欧拉函数。Cunningham (1922) 发表了素数到 25409 以及基数 2、3、5、6、7、10、11 和 12 的乘法阶。

乘法阶对于与 互质的 存在。例如，10 (mod 7) 的乘法阶是 6，因为

(1)

10 模一个与 10 互质的整数 的乘法阶给出了 的倒数的十进制展开的周期 (Glaisher 1878, Lehmer 1941)。例如，10 (mod 13) 的主指数是 6，并且

(2)

其周期为 6。

下表给出了基数 (mod ) 的前几个乘法阶，其中 是与 互质的数字序列。

	OEIS	主指数
2	A002326	2, 4, 3, 6, 10, 12, 4, 8, 18, 6, 11, 20, 18, ...
3	A050975	1, 2, 4, 6, 2, 4, 5, 3, 6, 4, 16, 18, 4, 5, ...
4	A050976	1, 2, 3, 3, 5, 6, 2, 4, 9, 3, 11, 10, 9, 14, ...
5	A050977	1, 2, 1, 2, 6, 2, 6, 5, 2, 4, 6, 4, 16, 6, 9, ...
6	A050978	1, 2, 10, 12, 16, 9, 11, 5, 14, ...
7	A050979	1, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 10, 2, 12, 4, 2, 16, ...
8	A050980	2, 4, 1, 2, 10, 4, 4, 8, 6, 2, 11, 20, 6, 28, ...
9	A050981	1, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 3, 3, 2, 8, 9, 2, 5, 11, ...
10	A002329	1, 6, 1, 2, 6, 16, 18, 6, 22, 3, 28, ...

如果 是一个与 互质的任意整数，那么在数字 0, 1, 2, ..., 中，恰好存在一个数字 使得

(3)

数字 然后被称为 相对于基数 模 的广义乘法阶（或离散对数；Schneier 1996, p. 501）。请注意，Nagell (1951, p. 112) 使用术语“指标”并写道

(4)

例如，数字 7 是 的最小正原根，并且由于 ，数字 15 相对于基数 7（模 41）的乘法阶为 3 (Nagell 1951, p. 112)。

广义乘法阶在 Wolfram 语言中实现为MultiplicativeOrder[g, n, a1], 或更一般地，MultiplicativeOrder[g, n, a1, a2, ...].

如果选择原根 和 ，则得到的函数称为子阶函数，并表示为 。如果选择单个原根 ，则该函数简化为“the”（即，非广义）乘法阶，表示为 ，在 Wolfram 语言中实现为MultiplicativeOrder[a, n]。此函数有时也称为离散对数（或者，更令人困惑的是，“指标”，Nagell 将该术语应用于一般 的情况）。