基底

在数学中，“基底”一词用于指代用作构建块的特定数学对象。最常见的用途是数字系统的相关概念，其数字用于表示数字，以及定义对数的数字系统。它也可以用于指代几何图形的底边或底面。

实数 可以使用任何整数 作为基底（有时也称为基数或比例）。基底的选择产生了称为数字系统的数字表示形式。在基底 中，使用数字 0, 1, ..., （按照惯例，对于大于 10 的基底，符号 A、B、C、... 通常用作表示十进制数字 10、11、12、... 的符号）。

数字 在基底 中的数字（对于整数 ）可以使用 Wolfram 语言获得IntegerDigits[x, b].

设数字 表示的数字 写作

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（例如，）。然后，例如，数字 10 在各种基底中写成

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因为，例如，

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等等。

常见的基底根据 的值给出特殊名称，如下表所示。最常见的基底是二进制和十六进制（计算机使用）以及十进制（人们使用）。

表示数字所需的最高位数字的索引是

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其中 是向下取整函数。现在，递归计算连续的数字

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其中 并且

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对于 , , ..., 1, 0, .... 这给出了 的 表示。请注意，如果 是一个整数，那么 只需要运行到 0，并且如果 有小数部分，那么展开式可能会终止，也可能不会终止。例如，0.1 的十六进制表示（在十进制记法中终止）是无限表达式 。

一些数字系统使用混合基数进行计数。示例包括玛雅日历和旧英国货币系统（其中海分币、便士、三便士、六便士、先令、半克朗、镑和几尼分别对应于 1/2、1、3、6、12、30、240 和 252 个单位）。

Bergman (1957/58) 考虑了无理数基底，Knuth (1998) 考虑了超越数基底。这导致了一些相当陌生的结果，例如在“基底 ”中将 等于 1，。更出乎意料的是，给定整数在无理数基底中的表示可能不是唯一的，例如

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其中 是黄金比例。

也可以考虑负基底，例如负二进制和负十进制（例如，Allouche 和 Shallit 2003）。负基底中的数字可以使用 Wolfram 语言代码获得

  NegativeIntegerDigits[0, n_Integer?Negative] := {0}
  NegativeIntegerDigits[i_, n_Integer?Negative] :=
    Rest @ Reverse @ Mod[
      NestWhileList[(# - Mod[#, -n])/n& ,
        i, # != 0& ],
    -n]

对数的基底是一个数字 ，用于定义计算对数的数字系统。一般来说，数字 在基底 中的对数写为 。符号 是一个缩写，遗憾的是，常用对数 （工程师和物理学家使用，并在袖珍计算器上标示）和自然对数 （数学家使用）都使用它。 表示自然对数 （工程师和物理学家使用，并在袖珍计算器上标示），而 表示 。在这项工作中，使用符号 和 。

要在不同基底的对数之间进行转换，可以使用公式

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可以使用。