刚性图

当应用于图时，“刚性”一词有两种不同的含义。首先，刚性图可能指的是具有包含单个元素的图自同构群的图。在这项工作中，这样的图更常用术语“恒等图”（例如，Albertson 和 Collins 1996）来指代。

刚性更常见的含义考虑的是图抵抗变形的能力，其中图的边通常被视为刚性的直杆或棒，这些杆或棒通过柔性铰链连接到相关的顶点。（有时也会考虑其他边缘元素，例如缆绳和支柱。）框架（即，具有顶点坐标和基础图，具有顶点集和边集）的刚性可以从两种等效的方式来考虑：无穷小刚性（考虑对应于速度向量的无穷小位移）和静态刚性（考虑结构上的力和载荷）。

由杆组成的框架被称为（无穷小）刚性的当且仅当配置点的连续运动，同时保持杆的约束，来自于所有欧几里得空间的运动族，这些运动是保距离的。这等价于存在，使得每个与等价且满足所有的的框架与框架全等。

框架是无穷小刚性的当且仅当其刚性矩阵的秩满足

其中是顶点计数 (Grasegger 2023)。

如果刚性矩阵等于刚性拟阵，则称框架为的通用实现。当所有点的坐标在有理数域上代数独立时，就会发生这种情况。一个图（作为一个没有明确嵌入的抽象对象）被称为刚性的当且仅当存在一个通用实现，使得该框架是通用刚性的。类似地，如果对于几乎所有（即，一个开稠密集合的）的配置，图被称为（通用）-刚性的，则框架在中是刚性的。

不是刚性图的图被称为柔性图 (Maehara 1992)。

三角形图的任何嵌入都是刚性的，而正方形图的任何嵌入都是柔性的。

柔性图不能有刚性嵌入。然而，一般来说，刚性图可能既有刚性嵌入，也有柔性嵌入。例如，除非效用图在平面上的嵌入的六个顶点位于圆锥曲线上（Bolker 和 Roth 1980，Maehara 1992），否则它是刚性的，上面展示了一些例子。

柯西 (Cauchy) (1813) 证明了刚性定理，这是刚性理论中的首批成果之一。尽管刚性问题对工程师来说非常重要，但对这些类型问题的深入数学研究只是在最近才出现 (Connelly 1993, Graver et al. 1993)。