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沙比特·伊本·库拉法则

沙比特·伊本·库拉法则是沙比特·伊本·库拉在十世纪提出的一个优美结果（Woepcke 1852；Escott 1946；Dickson 2005，第 5 页和第 39 页；Borho 1972）。取 n>=2 并假设

h=3·2^n-1
(1)
t=3·2^(n-1)-1
(2)
s=9·2^(2n-1)-1
(3)

都是素数。那么 (2^nht,2^ns) 是一对亲和数，其中 h 有时被称为沙比特·伊本·库拉数。这种形式在 1636 年被费马和 1638 年被笛卡尔重新发现，并被欧拉推广为欧拉法则（Borho 1972）。

为了使这样的数字存在，必须存在素数 3·2^n-1 对于两个连续的 n，仅留下 1、2、3、4 和 6、7 的可能性。在这些可能性中，当 n=2、4 和 7 时，s 是素数，从而得到亲和数对 (220, 284)、(17296, 18416) 和 (9363584, 9437056)。

事实上，可以找到各种类似于沙比特·伊本·库拉法则的规则。用 T(b_1,b)2,p,F_1,F_2) 表示一个“沙比特规则”，对于给定的自然数 b_1 和 b_2，一个不整除 b_1、b_2 的素数 p，以及 F_1(X),F_2(X) in Z[X] 中的多项式。那么，亲和数对 (m_1,m_2) 形如 m_i=p^nb_iq_i (i=1, 2) 且 q_1, q_2 为素数，n 为自然数的集合是无限的必要条件是：

p/(p-1)=(b_1)/(sigma(b_1))+(b_2)/(sigma(b_2)),
(4)

其中 sigma(n) 是除数函数 (Borho 1972)。因此，如果对于某个 n>=1，以下两者都成立，则 m_i=p^nb_iq_i (i=1, 2) 构成亲和数对：

q_i=(p^n(p-1)(b_1+b_2))/(sigma(b_i))-1
(5)

对于 i=1, 2，都是不整除 b_ip 的素整数 (Borho 1972)。

下表总结了一些已知的沙比特·伊本·库拉法则 T(au,p,(u+1)X,(u+1)sigma(u)X-1) (Borho 1972, te Riele 1974)。

ausigma(u)p
2^25·1172127
3^2·7·135·17108193
3^2·5·1311·19240449
3^2·7^2·135·41252457
3^2·7^2·13·195·19311642129
3^4·5·1129·8927005281
3^2·7·13·41·1635·977586810753
3^2·5·19·377·887710413313
3^4·7·11·2913·521730814081
3^2·7^2·13·19·2941·173730814401
3^2·5·13·1929·5691710033601
3^2·7^2·135·53·973175257457
3^2·5^2·13·31149·44967500134401
3^3·5^3·13149·44967500134401
2·7^2·19·2311·13523162288311041
3^4·5·11·5989·5309477900950401
3^4·5·11^2·71709·212915123003021761
3^2·7^2·11·19·43·89293·22961675082813478401
2^3·3117·107·4339843696016329601
2^8257·33023852019217007103
2^3·19·13783·2186511836676836514801
2^7·2634271·28088311999364482399587741

另请参阅

亲和数对, 欧拉法则, 里塞尔数

使用 探索

参考文献

Borho, W. "On Thabit ibn Kurrah's Formula for Amicable Numbers." Math. Comput. 26, 571-578, 1972.Dickson, L. E. 数论史，卷 1：可除性和素性。 New York: Dover, 2005.Escott, E. B. E. "Amicable Numbers." Scripta Math. 12, 61-72, 1946.Riesel, H. "Lucasian Criteria for the Primality of N=h(2^n)-1." Math. Comput. 23, 869-875, 1969.Riesel, H. 素数与因子分解的计算机方法，第二版。 Basel: Birkhäuser, p. 394, 1994.Sloane, N. J. A. 序列 A002235/M0545，出自“整数序列在线百科全书”。te Riele, H. J. J. "Four Large Amicable Pairs." Math. Comput. 28, 309-312, 1974.Woepcke, F. J. Asiatique 20, 320-429, 1852.

在 上被引用

沙比特·伊本·库拉法则

引用此内容

Weisstein, Eric W. "沙比特·伊本·库拉法则。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ThabitibnKurrahRule.html

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