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有理亲和数对

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有理亲和数对由两个整数 a 和 b 组成，它们的除数函数相等且形式为

sigma(a)=sigma(b)=(P(a,b))/(Q(a,b))=R(a,b),
(1)

其中 P(a,b) 和 Q(a,b) 是二元多项式，且满足以下性质 (Y. Kohmoto)

1. 右侧分式分子中所有项的次数相同。

2. 右侧分式分母中所有项的次数相同。

3. P 的次数比 Q 的次数大 1。

如果 a=b 且 P(a,b) 的形式为 ma^r，则 (◇) 简化为特殊情况

sigma(a)=m/na,
(2)

因此，如果 m/n 是整数，则 a 是多完全数。

考虑以下形式的多项式

R_n(a,b)=((a+b)^n)/(a^(n-1)+b^(n-1)).
(3)

对于 n=1，(◇) 简化为

sigma(a)=sigma(b)=1/2(a+b),
(4)

目前尚无已知示例。对于 n=2，(◇) 简化为

sigma(a)=sigma(b)=((a+b)^2)/(a+b)=a+b,
(5)

因此 (a,b) 构成一个亲和数对。对于 n=3，(◇) 变为

sigma(a)=sigma(b)=((a+b)^3)/(a^2+b^2).
(6)

Kohmoto 发现了这种类型的三个解类。第一个是

2^(m-1)M_m·3·5^2·13·31·139·277·3877[11·19; 239],
(7)

其中 M_m 是梅森素数，且 m!=2!=5，给出 (26403469440047700, 30193441130006700), (7664549986025275200, 8764724625167659200), ... (OEIS A038362 和 A038363)。第二组解是

2^(m-1)·M_m·3·7·11^2·17^2·19^2·23·127·307·359·3739·22433·68209[83·1931; 162287]
(8)

其中 m!=2!=3!=7，给出解

(78256237020415183195834116556854123, 79239609524574437586507591881740437),....
(9)

第三种类型是唯一解

2^(11)·3^7·13·17·19^2·23·41·127·227·271·541·2269·124429[29·569; 17099],
(10)
(6635175414464669669910912069594519552, 6875635683408968346512737741833627648).
(11)

考虑更一般形式的多项式

R_(k,n)(a,b)=((a+b)^n)/(k(a^(n-1)+b^(n-1))),
(12)

Kohmoto 发现了 (k,n)=(2,4) 的解

2^(m-1)·M_m·3·5·7·23^2·59·79·137·547·2477·158527·173428537·8671426849·[83·1931; 162287]
(13)

对于 m，梅森素数的指数，但排除 m=2 和 3。

Kohmoto (私人通讯，2004 年 2 月) 还发现了 (6,6) 的解

2^(m-1)·M_m·3^(10)·5·11·13·17·23^3·41·43·53^2·59·89·103·107·229·409·823·1031·1801·1831·3851·4271·19751·9322471·[83·1931; 162287]
(14)

对于 m，梅森素数的指数，但排除 m=2。

考虑以下形式的多项式

R_(r/s)(a,b)=r/s((a+b)^3)/(a^2+ab+b^2),
(15)

对于 r/s=3/2，Kohmoto 发现了以下解

2^8·3^2·13·17·41·53·73^2·1801·11971[5·11; 71].
(16)

考虑以下形式的多项式

R_k(a,b)=(kab)/(a+b),
(17)

或等价地，

1/(sigma(a))=1/(sigma(b))=1/(ka)+1/(kb).
(18)

Kohmoto 发现了下表列出的解。

k(a,b)
6(1537536, 2269696)
8(22405565952, 21500290560)
9(8509664043532288000, 5783455883132928000)

另请参阅

亲和数对

此条目由 Yasutoshi Kohmoto 贡献

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参考文献

Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A038362 和 A038363。

在 中被引用

有理亲和数对

请引用为

Kohmoto, Yasutoshi。“有理亲和数对”。来自 —— 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/RationalAmicablePair.html

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