赋值

Kürschák 于 1913 年首次提出的 p-adic 范数 的推广。域 上的赋值 是从 到 实数 的 函数，对于所有 满足以下性质

1. ,

2. 当且仅当 ，

3. ,

4. 蕴含 ，其中 为某个常数（独立于 ）。

如果 (4) 对于 成立，则 满足 三角不等式，

4a. 对于所有 。

如果 (4) 对于 成立，则 满足更强的 超度量 不等式

4b. 。

最简单的赋值是 绝对值，适用于 实数。满足 (4b) 的赋值称为 非阿基米德赋值；否则，称为 阿基米德 赋值。

如果 是 上的赋值，且 ，那么我们可以通过以下方式定义一个新的赋值

(1)

这确实给出了一个赋值，但公理 4 中的常数 可能不同。如果两个赋值以这种方式相关，则称它们是等价的，这在 上所有赋值的集合上给出了一个等价关系。任何赋值都等价于满足三角不等式 (4a) 的赋值。鉴于此，我们只需要研究满足 (4a) 的赋值，并且我们通常将公理 (4) 和 (4a) 视为可互换的（尽管这并非完全正确）。

如果两个赋值等价，那么它们要么都是 非阿基米德 赋值，要么都是 阿基米德 赋值。、 和 与通常的欧几里得范数是阿基米德赋值域。对于任何 素数 ，具有 -adic 赋值 的 p-adic 数 是一个 非阿基米德域。

如果 是任何 域，我们可以通过对于所有 ，，以及 来定义 上的平凡赋值，这是一个 非阿基米德赋值。如果 是 有限域，那么 上唯一可能的赋值是平凡赋值。可以证明， 上的任何赋值都等价于以下之一：平凡赋值、欧几里得绝对范数 或 -adic 赋值 。

Ostrowski (1935) 证明了 的任何非平凡赋值都等价于通常的 绝对值 或 p-adic 范数。等价的赋值产生相同的拓扑。反之，如果两个赋值具有相同的拓扑，那么它们是等价的。一个更强的结果如下：设 、、...、 是域 上两两不等价的赋值，并设 、、...、 是 的元素。那么存在 的元素的无限序列（、、...），使得

(2)

(3)

等等。这说明，在某种意义上，不等价的赋值是完全相互独立的。例如，考虑有理数 ，以及 3-adic 和 5-adic 赋值 和 ，并考虑由以下给出的数字序列

(4)

那么，相对于 ，当 时，，但相对于 ，当 时，，这说明一个数字序列在两个不同的赋值下可以趋于两个不同的极限。

离散赋值是指其 赋值群 是 实数 的离散子集的赋值。等价地，如果存在 实数 ，则（域 上的）赋值是离散的，使得

(5)

-adic 赋值在 上是离散的，但普通的绝对赋值不是。

如果 是 上的赋值，那么它会诱导一个度量

(6)

在 上，这反过来又会在 上诱导一个 拓扑。如果 满足 (4b)，那么这个度量是 超度量。我们说 是一个完备赋值域，如果这个 度量空间 是完备的。