酉矩阵

一个方阵 是酉矩阵，如果

(1)

其中 表示共轭转置，并且 是矩阵逆。 例如，

(2)

是一个酉矩阵。

酉矩阵保持复向量的长度不变。

对于实矩阵，酉矩阵与正交矩阵相同。 实际上，正交矩阵和酉矩阵之间存在一些相似之处。 酉矩阵的行构成酉基。 也就是说，每一行的长度均为 1，并且它们的埃尔米特内积为零。 类似地，列也构成酉基。 实际上，给定任何酉基，以该基为行的矩阵都是酉矩阵。 列自动成为另一个酉基。

可以使用Wolfram 语言测试矩阵 是否为酉矩阵，方法是UnitaryMatrixQ[m].

酉矩阵的定义保证了

(3)

其中 是单位矩阵。 特别是，酉矩阵始终是可逆的，并且 。 请注意，转置比求逆运算简单得多。 使用酉矩阵对埃尔米特矩阵进行相似变换得到

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酉矩阵是正规矩阵。 如果 是酉矩阵，则积和式

(9)

(Minc 1978, p. 25, Vardi 1991)。

酉矩阵正是那些保持埃尔米特内积不变的矩阵

(10)

此外， 的行列式的范数为 。 与正交矩阵不同，酉矩阵是连通的。 如果 则 是特殊酉矩阵。

两个酉矩阵的乘积是另一个酉矩阵。 酉矩阵的逆矩阵是另一个酉矩阵，并且单位矩阵是酉矩阵。 因此，酉矩阵的集合构成一个群，称为酉群。