正交矩阵

一个 矩阵 是一个正交矩阵，如果

(1)

其中 是 转置 ，并且 是 单位矩阵。 特别地，一个正交矩阵总是可逆的，并且

(2)

以分量形式表示，

(3)

这个关系使得正交矩阵特别容易计算，因为转置运算比计算逆矩阵简单得多。

例如，

			(4)
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是正交矩阵。

可以使用 Wolfram 语言 测试矩阵 是否为正交矩阵，使用OrthogonalMatrixQ[m]。

正交矩阵的行是一个 标准正交基。 也就是说，每一行长度为一，并且相互垂直。 类似地，列也是一个标准正交基。 事实上，给定任何标准正交基，以该基为行的矩阵是一个正交矩阵。 列自动成为另一个标准正交基。

正交矩阵精确地是那些保持 内积 不变的矩阵

(6)

此外，行列式 要么是 1 要么是 。 作为 的一个子集，正交矩阵不是 连通的，因为 行列式 是一个 连续函数。 相反，存在两个 连通分支，分别对应于行列式为 1 或 的情况。 行列式 为 1 的正交矩阵是旋转矩阵，这样的矩阵被称为 特殊正交矩阵。

两个正交矩阵的 矩阵乘积 仍然是正交矩阵。 此外，正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵，单位矩阵 也是。 因此，正交矩阵的集合构成一个 群，称为 正交群 。